Winkelberechnung

Schließlich zeigen wir:

Satz (Spursatz)

Sei A invertierbar mit q ≠ 0 und A ≠ A^t. Dann sind die großen Halbachsenvektoren h und k der Ellipsen E_A und E_A^t genau dann orthogonal, wenn A spurfrei ist, d. h. wenn a = −d. Allgemein berechnet sich der Winkel α  ∈  [ 0, π/2 ] zwischen den großen Halbachsengeraden von E_A und E_A^t zu

α = arccos( $\frac{|a + d|}{\sqrt{2 (r + det (A))}}$ ) = arctan|^b − c_a + d|,

wobei wir in der zweiten Formel a ≠ −d annehmen.

Beweis

Mit μ = (e/σ₁)⁴ = 4λ²/σ₁⁴ gilt

μ 〈 h, k 〉²	= ( $\sqrt{(λ + q_{1}) (λ + p_{1})}$ + θθ^t $\sqrt{(λ - q_{1}) (λ - p_{1})}$ )²
	= (λ + q₁)(λ + p₁) + (λ − q₁)(λ − p₁) + 2θθ^t $\sqrt{(λ^{2} - q_{1}^{2}) (λ^{2} - p_{1}^{2})}$
	= 2λ² + 2q₁p₁ + 2θθ^t $\sqrt{q_{2}^{2} p_{2}^{2}}$
	= q₁² + q₂² + p₁² + p₂² + 2q₁p₁ + 2q₂p₂
	= (q₁ + p₁)² + (q₂ + p₂)²
	= (a² − d²)² + ((a + d)(b + c))²
	= (a + d)²(a − d)² + (a + d)²(b + c)²
	= (a + d)²((a − d)² + (b + c)²)
	= 2(a + d)²(r − det(A))
	= 4λ² ^(a + d)²_{2(r + det(A))} = 4λ² (1 + ^{(b − c)²}_(a + d)²)⁻¹,

wobei wir bei der letzten Umformung wieder a ≠ −d annehmen. Aus

cos α = ^{|〈 h, k 〉|}_{∥ h ∥ ∥ k ∥} = ^{|〈 h, k 〉|}_λ₁

und der Formel cos(arctan(x)) = 1/ $\sqrt{1 + x^{2}}$ folgt die Behauptung.

Zur Bestimmung des Vorzeichens von 〈 h, k 〉 beobachten wir, dass

$\sqrt{(λ + q_{1}) (λ + p_{1})}$ ≥ $\sqrt{(λ - q_{1}) (λ - p_{1})}$

genau dann gilt, wenn q₁ + p₁ ≥ −(q₁ + p₁), d. h. wenn

q₁ + p₁ ≥ 0

Wegen q₁ + p₁ = a² − d² ist dies äquivalent zu |a| ≥ |d|.

Die Matrix A = ((2, 3), (1, −2)) ist spurfrei. Die großen (kleinen) Halbachsen von E und E^t stehen senkrecht aufeinander.