Die Ellipsen von Matrix-Potenzen

Sei A = ((a, b), (c, d)) invertierbar. Wir betrachten die Ellipsen

E_Aⁿ = Aⁿ[ K ] für alle n ≥ 1

der Potenzen Aⁿ von A und zeigen, dass ihre Drehwinkel

φ_n = arg(h₁(Aⁿ)) = arg(q(Aⁿ))/2  ∈  ] −π/2, π/2 ]

unter guten Voraussetzungen an die Matrix A konvergieren (wobei wir im Kreisfall q(Aⁿ) = 0 den Winkel φ_n frei wählen können).

Wir beginnen wieder mit dem symmetrischen Fall. Ist A symmetrisch, so gilt nach dem Spektralsatz

A = S D S^t mit S = (v; w) orthogonal, D = diag(λ, μ)

Eine einfache Induktion nach n zeigt, dass

Aⁿ = S Dⁿ S^t, Dⁿ = diag(λⁿ, μⁿ) für alle n ≥ 1

Damit erhalten wir für jedes n ≥ 1 die Singulärwertzerlegung

Aⁿ = S diag(|λ|ⁿ, |μ|ⁿ) T_n, wobei

T_n = diag(sgn(λⁿ), sgn(μⁿ)) S^t

Die Matrix T_n ist orthogonal als ein Produkt einer ±1-Diagonalmatrix und einer orthogonalen Matrix. Da S unverändert bleibt, sind die Spalten v und w von S Halbachsenrichtungen der Ellipse E_Aⁿ. Die Vektoren v und w sind orthogonale Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ, μ. Dies zeigt:

Satz (Ellipsen von symmetrischen Matrix-Potenzen)

Sei A invertierbar und symmetrisch. Dann sind die orthogonalen Eigenvektoren von A die Halbachsenrichtungen von E_Aⁿ. Die Halbachsen von E_Aⁿ sind die n-ten Potenzen der Beträge der Eigenwerte von A. Der Kreisfall tritt genau dann ein, wenn die Beträge der Eigenwerte übereinstimmen.

Wir nehmen nun schwächer an, dass A nicht symmetrisch, aber immerhin noch diagonalisierbar ist. Dann gibt es eine Zerlegung

A = P D P⁻¹ mit P = (v; w) nicht orthogonal, D = diag(λ, μ)

Erneut gilt

Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹, Dⁿ = diag(λⁿ, μⁿ) für alle n ≥ 1

Folgende Überlegung suggeriert ein Grenzwertverhalten der Halbachsenrichtungen der Ellipsen E_Aⁿ:

Heuristik

Wir nehmen an, dass λ > μ > 0. Für große n dominiert λⁿ über μⁿ in Dⁿ. Damit verformt Dⁿ das Bild P⁻¹[ K ] des Einheitskreises unter P⁻¹ zu einer langen schmalen Ellipse, deren große Halbachsenrichtung einen kleinen Winkel mit der x-Achse einschließt, d. h. nahe bei e₁ liegt. Durch Anwendung von P wird diese Halbachsenrichtung zu v = P e₁ mit der ersten Spalte v von P. Wir erwarten also, dass die großen Halbachsenrichtungen von E_Aⁿ in den Eigenraum Eig(λ, A) = { α v | α  ∈  ℝ } konvergieren. Analoge Überlegungen gelten für den allgemeineren Fall |λ| > |μ| eines (im Betrag) dominanten Eigenwerts λ.

Für ein normiertes u₀  ∉  span(w) ist es in der Tat nicht schwer zu zeigen, dass die Vektoriteration (u_n)_{n  ∈  ℕ} mit

u_n + 1 = A u_n/∥ A u_n ∥ für alle n ≥ 0

in den Eigenraum eines dominanten Eigenwerts λ konvergiert. Dieses Verfahren wird in der Numerik zur Berechnung eines dominanten Eigenvektors verwendet (ohne dass λ bekannt ist). In unserem Fall besteht die betrachtete Folge jedoch aus Halbachsenrichtungen, die sich im Allgemeinen nicht durch iterierte Anwendung von A ergeben. Zudem bleibt der Fall |λ| = |μ| zweier betragsgleicher Eigenwerte offen. Wir behandeln die Problemstellung mit den obigen Formeln für die Ellipsen diagonalisierter Matrizen.

Sei also

A = P diag(λ, μ) P⁻¹, P = (v; w), 〈 v, w 〉 ≠ 0, α = arg(v), β = arg(w)

Wir nehmen wieder (a) − (c) an, d. h. es gilt |λ| ≥ |μ| und v, w liegen normiert in der rechten Halbebene. Sei n ≥ 1. Dann gilt mit δ = det(P):

Aⁿ = P diag(λⁿ, μⁿ) P⁻¹ = ¹_δ $( \begin{matrix} λ^{n} v_{1} w_{2} - μ^{n} v_{2} w_{1} & (μ^{n} - λ^{n}) v_{1} w_{1} \\ (λ^{n} - μ^{n}) v_{2} w_{2} & μ^{n} v_{1} w_{2} - λ^{n} v_{2} w_{1} \end{matrix} )$

Der q-Vektor von Aⁿ berechnet sich nach obigen Ergebnissen zu

(+) q^Aⁿ = τ_n (λⁿ v⁺ − μⁿ w⁺) wobei τ_n = (λⁿ − μⁿ)/(2δ²)

Fallunterscheidung nach den Eigenwerten

Der Fall λ = μ kann nicht eintreten (er ist durch den symmetrischen Fall abgedeckt), denn für λ = μ ist A = λ E₂ symmetrisch.

1. Fall λ = − μ

Für die geraden Exponenten gilt

q^A²ⁿ = 0, A²ⁿ = λ²ⁿ E₂, E_A²ⁿ = K_|λ|²ⁿ

Für die ungeraden Exponenten erhalten wir mit (+):

A^2n + 1 = λ^2n + 1 P diag(1, −1) P⁻¹

q(A^2n + 1) = τ_2n +1 λ^2n + 1 (v⁺ + w⁺)

Der q-Vektor ist genau dann 0, wenn β = α ± π/2. Dies ist äquivalent zur Symmetrie der Matrix A. Da wir A als unsymmetrisch voraussetzen, ist q_A²ⁿ⁺¹ ≠ 0 und die Ellipse E_A^2n + 1 damit echt. Es gilt

arg(q(A^2n + 1)) = (2α + 2β)/2 = α + β

φ_2n + 1 = arg(q(A^2n + 1))/2 = (α + β)/2

Der Drehwinkel ist also für alle ungeraden Exponenten das arithmetische Mittel der Winkel der Eigenvektoren.

2. Fall |λ| > |μ|

Mit η = μ/λ gilt nach (+):

q(Aⁿ) = τ_n λⁿ (v⁺ − ηⁿ w⁺)

Mit lim_n ηⁿ = 0 erhalten wir

lim_n φ_n = lim_n arg(v⁺ − ηⁿ w⁺)/2 = arg(v⁺)/2 = arg(v)

Wir fassen zusammen:

Satz (Ellipsen von diagonalisierbaren Matrix-Potenzen, |λ| ≠ |μ|)

Sei A invertierbar und diagonalisierbar mit im Betrag verschiedenen Eigenwerten. Dann konvergieren die großen Halbachsenrichtungen der Ellipsen E_Aⁿ = Aⁿ[ K ] in den Eigenraum des dominanten Eigenwerts λ von A. Ist v ein λ-Eigenvektor in der rechten Halbebene, so gilt

lim_n → ∞ φ_n = arg(v), wobei

φ_n = φ(E_Aⁿ) = arg(q_Aⁿ)/2  ∈  ] − π/2, π/2 ]

Die Folge der Drehwinkel φ_n ist genau dann konstant, wenn A symmetrisch ist.

Satz (Ellipsen von diagonalisierbaren Matrix-Potenzen, λ = − μ)

Sei A invertierbar und diagonalisierbar mit Eigenwerten λ, μ mit λ = − μ.

(1)	Ist A symmetrisch, so ist E_Aⁿ ein Kreis für alle n.

(2)	Ist A nicht symmetrisch, so ist E_Aⁿ ein Kreis für gerade n und eine echte Ellipse für ungerade n. Für die Drehwinkel gilt φ_n = (arg(v) + arg(w))/2  ∈  ] −π/2, π/2 ] für alle ungeraden n, wobei v, w Eigenvektoren zu λ, μ in der rechten Halbebene sind.

Wir betrachten ein Beispiel für den Fall betragsgleicher Eigenwerte mit unterschiedlichem Vorzeichen.

Beispiel

Sei A = ((1, 0); (−2, −1)). Die Matrix A ist diagonalisierbar mit den Eigenwerten λ = 1 und μ = −1. Zugehörige Eigenvektoren in der rechten Halbebene sind v = e₁ und w = (1, 1). Es gilt also

A = P diag(1, −1) P⁻¹ mit P = (v; w) = ((1, 0); (1, 1))

Die Potenzen berechnen sich für alle n ≥ 1 zu

A²ⁿ = E₂, A^2n + 1 = A = $( \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix} )$

Der q-Vektor berechnet sich aus den Einträgen von A für ungerade Exponenten zu

q_A^2n + 1 = q_A = ((1 + 4 + 0 − 1)/2, 1 · 0 + (−2)(−1)) = (2, 2)

Es gilt arg(q) = π/4, sodass der Drehwinkel von E_A (und aller E_A²ⁿ⁺¹) gleich π/8 ist. Dieser Wert ist, wie es nach dem Satz sein muss, das arithmetische Mittel von arg(v) = 0 und arg(w) = π/4.

Die Konvergenz der Halbachsenrichtungen kann auch im nicht diagonalisierbaren Fall eintreten:

Beispiel

Wir betrachten die Scherung A = ((1, 0); (1, 1)). Die Matrix A ist nicht diagonalisierbar (auch nicht in ℂ), hat aber einen Eigenwert λ = 1 und den zugehörigen Eigenvektor v = (1, 0). Für alle n ≥ 1 gilt:

Aⁿ = $( \begin{matrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ , q_Aⁿ = (n²/2, n), φ_n = ^arctan(2/n)₂

Es gilt lim_n φ_n = 0 = arg(v).