Die komplexe Singulärwertzerlegung

Die Singulärwertzerlegung für komplexe Matrizen lässt sich wie im Reellen aus dem Spektralsatz gewinnen. Dabei genügt der Spektralsatz für selbstadjungierte Matrizen, da wir für eine gegebene Matrix A eine unitäre Diagonalisierung der selbstadjungierten Matrix A A* verwenden. Ist (λ, v) ein Eigenpaar von A A* mit einem normierten Eigenvektor v, so gilt

λ = λ 〈 v, v 〉 = 〈 v, A A* v 〉 = 〈 A* v, A* v 〉 = ∥ A* v ∥² ≥ 0

Damit können wir in Analogie zum reellen Fall zeigen:

Satz (Singulärwertzerlegung für komplexe Matrizen)

Sei A  ∈  ℂ^2 × 2 invertierbar, und sei A A* = S D S* mit S unitär und D = diag(λ₁, λ₂). Weiter sei

T = D^−1/2 S* A (mit D^−1/2 = (D^1/2)⁻¹ = diag( $\sqrt{1 / λ_{1}}$ , $\sqrt{1 / λ_{2}}$ )

Dann ist T unitär und A = S D^1/2T.

Beweis

Aufgrund der Vorüberlegung und der Invertierbarkeit von A gilt λ₁, λ₂ > 0, sodass D^−1/2 definiert ist. Die Matrix T ist unitär, da

T T*	= D^−1/2 S* A A* S D^−1/2
	= D^−1/2 S* S D S* S D^−1/2
	= D^−1/2 D D^−1/2 = E₂

Aus der Definition von T folgt, dass A = S D^1/2 T

Die Singulärwerte sind also erneut die reellen Quadratwurzeln der Eigenwerte der selbstadjungierten Matrix A A*.