Die Jordansche Normalform

Sei A = ((a, b), (c, d))  ∈  ℂ^2 × 2. Die Diagonalisierbarkeit von A bedeutet, dass es eine invertierbare Matrix P und eine Diagonalmatrix D gibt mit

A = P D P⁻¹

Es stellt sich die Frage nach einer möglichst einfachen analogen Zerlegung für nicht diagonalisierbare Matrizen. Sei also A nicht diagonalisierbar. Nach unseren Überlegungen ist also

λ = spur(A)/2 = (a + d)/2

ein algebraisch doppelter, aber geometrisch einfacher Eigenwert von A ist. Wir setzen:

N = A − λ E₂, s = (a − d)/2

Dann gilt:

(1)	N = $( \begin{matrix} a - λ & b \\ c & d - λ \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a - (a + d) / 2 & b \\ c & d - (a + d) / 2 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} s & b \\ c & - s \end{matrix} )$

(2)	σ(N) = { 0 } (d. h. 0 ist der eindeutige Eigenwert von N)

(3)	Kern(N) = Eig(A, λ) (sodass dim(Kern(N)) = 1)

(4)	dim(Bild(N)) = 1

Wegen det(N) = 0 ist s² + bc = − det(N) = 0. Damit gilt:

(5)	N² = $( \begin{matrix} s^{2} + bc & 0 \\ 0 & b c + s^{2} \end{matrix} )$ = 0

(6)	A N = λ N (da (A − λ E₂) N = N² = 0)

Für alle v gilt also A (N v) = λ (N v), sodass Bild(N) ⊆ Eig(A, λ). Da beide Unterräume die Dimension 1 besitzen, ist

Bild(N) = Eig(A, λ) = Kern(N)

Die Spalten N e₁, N e₂ von N sind im Bild von N und damit Eigenvektoren von A zum Eigenwert λ, falls sie von Null verschieden sind. Wir setzen

v₁ = N e₂, v₂ = e₂, falls N e₂ ≠ 0

v₁ = N e₁, v₂ = e₁, falls N e₂ = 0 (und folglich N e₁ ≠ 0, da N ≠ 0)

Dann ist (λ, v₁) ein Eigenpaar von A und Nv₂ = v₁, sodass (A − λE₂) v₂ = v₁ und

(+) A v₂ = v₁ + λ v₂

Wir setzen

P = (v₁; v₂), D = ((λ, 0); (1, λ))

Dann gilt P e₁ = v₁, P⁻¹ v₁ = e₁ und analog für e₂ und v₂. Damit erhalten wir:

P⁻¹ A P e₁ = P⁻¹ A v₁ = λ P⁻¹ v₁ = λ e₁ = (λ, 0)

P⁻¹ A P e₂ = P⁻¹ A v₂ = P⁻¹(v₁ + λ v₂) = e₁ + λ e₂ = (1, λ)

Folglich ist

P⁻¹ A P = D, A = P D P⁻¹

Wir haben gezeigt:

Satz (Jordansche Normalform)

Sei A  ∈  ℂ^2 × 2 nicht diagonalisierbar. Dann gibt es eine invertierbare Matrix P und eine obere Dreiecksmatrix D = ((λ, 0); (1, λ)) mit

A = P D P⁻¹ = P $( \begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix} )$ P⁻¹

Der Diagonaleintrag λ ist der eindeutige Eigenwert von A. Für die Matrix N = A − λ E₂ gilt

N² = 0, A N = λ N, Bild(N) = Kern(N) = Eig(A, λ)

Als Matrix P ist jedes Paar (v₁; v₂) mit

(a)	v₁ ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ

(b)	A v₂ = v₁ + λ v₂

geeignet. Konkret sind die Matrizen (Ne₂; e₂) bzw. (Ne₁; e₁) als P geeignet, sofern Ne₂ ≠ 0 bzw. Ne₁ ≠ 0.

Es gilt A v₁ = λ v₁, A v₂ = v₁ + λ v₂. Der Vektor v₂ ist ein „um v₁ verschobener Eigenvektor“ und ein bestmöglicher Ersatz für die fehlende zweite Dimension des Eigenraumes.

Die Dreiecksmatrizen der Jordanschen Normalform können wir in der Form

D = λ $( \begin{matrix} 1 & 1 / λ \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ für λ ≠ 0

schreiben. Die Matrix auf der rechten Seite ist eine Scherung um den Faktor 1/λ mit der x-Achse als Scherungsachse.