Normale Matrizen
Wir betrachten nun den Kommutator einer Matrix A und ihrer adjungierten Matrix A*.
Definition (normal)
Eine Matrix A ∈ ℂ2 × 2 heißt normal, falls [ A, A*] = 0.
Die Normalität von A besagt also, dass A A* = A* A.
Beispiele
(1) | Ist A selbstadjungiert, so ist A normal, da A A* = A2 = A* A |
(2) | Ist A unitär, so ist A normal, da A A* = A A−1 = A−1 A = A* A |
(3) | Eine Diagonalmatrix D = diag(λ, μ) ist normal, da D D* = diag(|λ|2, |μ|2) = D* D |
Der reelle Fall
Ist A = ((a, b), (c, d)) reell, so gilt A* = At. Wir hatten bereits gesehen, dass A und At kommutieren, wenn
(+) b = c oder b = − c und a = d
Dies folgt auch aus dem obigen Satz. Die Bedingung
b c′ = b′ c, s b′ = s′ b, s c′ = s′ c
wird mit a′ = a, b′ = c, c′ = b, d′ = d zur zweiteiligen Form
b2 = c2, (a − d) c = (a − d) b
Dies ist äquivalent zu (+).
Für eine komplexe Matrix A = ((a, b), (c, d)) wird die Bedingung
b c′ = b′ c, s b′ = s′ b, s c′ = s′ c
mit a′ = a, b′ = c, c′ = b, d′ = d zu
(+) |b|2 = |c2|, (a − d) c = a − d b, (a − d) b = a − d c
Die dritte Formel ist komplex konjugiert zur zweiten, sodass wir wieder eine zweiteilige Bedingung vorliegen haben. Aus (+) lesen wir ab:
Satz (Charakterisierung der Normalität, Teil 1)
Sei A = ((a, b), (c, d)) ∈ ℂ2 × 2.
(1) | Ist |b| ≠ |c|, so ist A nicht normal. |
(2) | Ist |b| = |c| = 0 (d. h. A diagonal), so ist A normal. |
(3) | Ist |b| = |c| und a = d, so ist A normal. |
Für die Normalität von A = ((a, b), (c, d)) ist |b| = |c| notwendig. Unter Verwendung von Skalarprodukt und Determinante zeigt die obige Berechnung:
Satz (Charakterisierung der Normalität, Teil 2)
Sei A = ((a, b), (c, d)) ∈ ℂ2 × 2 mit |b| = |c|. Dann ist A genau dann normal, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:
(a) | 〈 (a, b), (c, d) 〉 = 〈 (b, d), (a, c) 〉 |
(b) | (a − d) c = a − d b |
(c) | det((a − d, b); (a − d, c)) = 0 |
(d) | (a − d, b) und (a − d, c) sind linear abhängig in ℂ2 |
(e) | λ (a − d) = a − d und λ b = c für ein λ ∈ ℂ (mit |λ| = 1) |
Diese Äquivalenzen können wir mit Hilfe von Winkeln ausdrücken, sofern die komplexen Zahlen von Null verschieden sind:
Satz (Charakterisierung der Normalität, Teil 3)
Sei A = ((a, b), (c, d)) ∈ ℂ2 × 2 mit |b| = |c| ≠ 0 und a ≠ d. Dann ist A genau dann normal, wenn mit α = arg(a − d), β = arg(b), γ = arg(c) eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:
(i) | β + γ = 2 α modulo (2π) |
(ii) | exp(i 2(α − β)) b = c |
Beweis
Mit den für alle z, w ≠ 0 gültigen Argument-Regeln
arg(z w) = arg(z) + arg(w), arg(z) = − arg(z)
ergibt sich (i) aus (b) des letzten Satzes. Weiter sind (i) und (ii) äquivalent (da |b| = |c| ≠ 0). Aus (i) folgt (b), da
| (a − d) c | = (r, arg(a − d) − arg(c))polar |
| = (r, arg(b) − arg(a − d))polar = a − d b |
wobei r = |a − d| |c| = |a − d| |b|
Beschreibung der normalen Matrizen
(1) | Alle Diagonalmatrizen sind normal. |
(2) | Alle Matrizen der Form A = mit r > 0 sind normal. Die Winkel β, γ können wir frei einstellen. |
(3) | Alle Matrizen der Form A = = = mit a ≠ d, r > 0, β + γ = 2α mod(2π), b = r ei β und α = arg(a − d) sind normal. |
(4) | Keine weiteren Matrizen A ∈ ℂ2 × 2 sind normal. |
Beispiele
(1) | Die Matrix A = ist normal, da die Nebendiagonaleinträge gleichlang sind und arg(1 + i) + arg(−1 + 1) = π/4 + 3π/4 = π = 2 arg(i) |
(2) | Seien r1 > 0, r2 ≥ 0 und α, β ∈ ℝ. Dann ist die folgende Matrix normal: A = |
Explizit halten wir fest:
Korollar (normale Matrizen mit reeller Hauptdiagonale)
Sei A = ((a, b), (c, d)) ∈ ℂ2 × 2 mit a, d ∈ ℝ. Dann gilt:
(a) | Ist a = d, so ist A genau dann normal, wenn |b| = |c|. |
(b) | Ist a ≠ d, so ist A genau dann normal, wenn A = A*. |
Beweis
Ist A normal, so gilt (a − d) c = a − d b = (a − d) b, sodass im Fall a ≠ d also c = b und damit A = A*. (Alternativ mit Winkeln: Aus a − d ∈ ℝ folgt 2 arg(a − d) = 0, sodass arg(b) = − arg(c).) Der Rest ist klar.