Überführung in reinquadratische Form

Wir betrachten eine zentrische algebraische Gleichung

(#) a x² + b x y + c y² = d (d. h. 〈 (x, y), A (x, y) 〉 = d in Matrix-Form)

Wir zeigen mit Hilfe des Spektralsatzes, dass es eine Substitution

(x′, y′) = rot_−φ (x, y)

gibt, die (#) in die reinquadratische Form

(#)₀ a′ x′ ² + c′ y′ ² = d

überführt. Die folgenden Überlegungen sind auch im Fall det(A) = 0 gültig.

Analogie zur quadratischen Ergänzung

Die Vereinfachung entspricht dem Schritt von x² + b x + c = 0 zur reinquadratischen Form (x − x₀)² + c′ = 0 beim Lösen quadratischer Gleichungen. An die Stelle der quadratischen Ergänzung tritt der Spektralsatz.

Da A symmetrisch ist, gibt es nach dem Spektralsatz eine orthogonale Diagonalisierung der Form

A = rot_φ D rot_−φ, D = diag(λ₁, λ₂)

Die Spalten von rot_φ sind (positiv orientierte) Eigenvektoren von A, die Diagonaleinträge λ₁, λ₂ von D zugehörige Eigenwerte. Wir zeigen, dass φ wie gewünscht ist: Für alle (x, y) gilt mit (x′, y′) = rot_−φ (x, y):

〈 (x, y), A (x, y) 〉	= 〈 (x, y), rot_φ D rot_−φ (x, y) 〉
	= 〈 rot_−φ (x, y), D rot_−φ (x, y) 〉
	= 〈 (x′, y′), D (x′, y′) 〉

Durch die Substitution erhalten wir also die reinquadratische Gleichung

(#)₀ λ₁ x′ ² + λ₂ y′ ² = d

Die Koeffizienten der quadratischen Terme sind die Eigenwerte von A.

Allgmeine Substitutionen

Für eine Substitution der Form v = B v′ mit v = (x, y), v′ = (x′, y′) gilt:

〈 v, A v 〉 = 〈 B v′, A B v′ 〉 = 〈 v′, B^t A B v′ 〉 für alle v′ = (x′, y′)

Die darstellende Matrix der Gleichung in x′, y′ ist also B^t A B, wenn A die darstellende Matrix in x, y ist. (Die Invertierbarkeit von B wird erst für die Rücksubstitution v′ = B⁻¹ v benötigt.)

Wir fassen zusammen:

Satz (Rotation zu einer reinquadratischen Gleichung)

Sei a x² + b x y + c y² = d eine zentrische algebraische Gleichung zweiten Grades mit Lösungsmenge L. Dann gilt mit A = ((a, b/2), (b/2, c)):

Rotation

Die Gleichung wird durch (x′, y′) = rot_−φ (x, y) in die reinquadratische Form λ₁ x′² + λ₂ y′² = d übergeführt, wobei gilt:

(1)	rot_φ = (v₁; v₂) mit Eigenvektoren v₁, v₂ von A (und v₂ = rot_π/2(v₁))

(2)	λ₁, λ₂ sind die zu v₁ und v₂ gehörigen Eigenwerte von A

Klassifikation

Für d ≠ 0 gilt: Gilt det(A) < 0, so ist L eine Hyperbel. Gilt det(A) > 0, so ist L eine Ellipse (falls sgn(d) = sgn(λ₁) = sgn(λ₂)) oder die leere Menge (falls sgn(d) ≠ sgn(λ₁) = sgn(λ₂)).

Gilt d = 0 oder det(A) = 0, so ist L ein Sonderfall wie im reinquadratischen Fall.

Beweis

Der Zusatz ergibt sich aus det(A) = λ₁ λ₂. Es gilt det(A) = 0 genau dann, wenn ein Eigenwert Null ist. Andernfalls gilt det(A) > 0 genau dann, wenn die Eigenwerte die gleiche Parität besitzen. Damit folgen die Aussagen aus der reinquadratischen Klassifikation.

Insgesamt erhalten wir:

Satz (Zentrierung und Rotation)

Sei a x² + b xy + cy² + d x + e y + f = 0 eine algebraische Gleichung mit Zentrum v₀. Weiter sei A = rot_−φ diag(λ₁, λ₂) rot_φ. Dann wird die Gleichung durch

(x″, y″) = rot_−φ(x′, y′) = rot_−φ((x, y) − v₀)

übergeführt in

λ₁ x″² + λ₂y″² + f ′ = 0 mit f ′ = f + 1/2 〈 (d, e), v₀ 〉

Im Fall det(A) ≠ 0 ist v₀ eindeutig und es gilt

f ′ = f − (4 det(A))⁻¹ (c d² − b d e + a e²)

Beweis

Die Zentrierung ändert die Koeffizienten a, b, c (und damit A) nicht, während der konstante Term f in der angegebenen Form verändert wird. Die anschließende Rotation lässt f ′ invariant und erzeugt die Eigenwerte.

Beispiel: Ellipse (und Anordnung der Eigenwerte)

Wir betrachten die obige zentrierte Gleichung

(#) 5 x² − 6 x y + 5 y² − 8 = 0

und ihre Matrix A = ((a, b), (b, c) = ((5, −3), (−3, 5)). Wegen det(A) = 16 > 0 definiert die Gleichung eine Ellipse. Die Eigenwerte von A berechnen sich nach unserer Formel für die Eigenwerte symmetrischer Matrizen zu

¹₂(a + c ± $\sqrt{(a - c)^{2} + {4 b}^{2}}$ ) = ¹₂(10 ± $\sqrt{0^{2} + 36}$ ) = 5 ± 3

Wir setzen λ₁ = 2, λ₂ = 8 und erhalten die reinquadratische Form

(#)₀ 2 x² + 8 y² − 8 = 0,

die wir in der äquivalenten Form

x² + 4 y² = 4

schreiben können. Sie definiert die achsenparallele Ellipse E_2, 1.

Alternativ ergibt sich 8x² + 2y² − 8 = 0, wenn wir λ₁ = 8 und λ₂ = 2 wählen. Dies entspricht einer Drehung der achsenparallelen Ellipse E_2, 1 um π/2, durch die wir E_1, 2 erhalten. Durch die Wahl von λ₁ < λ₂ erreichen wir, dass die große Halbachse auf der x-Achse liegt.

Die Berechnung der Eigenvektoren ist bei diesem Vorgehen nicht nötig. Es ist aber vielleicht instruktiv, sie explizit anzugeben. Wir lösen hierzu

(A − λ₁E) (x, y) = 0 mit λ₁ = 2, d. h. 3x − 3y = 0, −3x + 3y = 0

Eine nichttriviale Lösung ist (1, 1). Normierung liefert den Eigenvektor v₁ = α (1, 1) mit α = 1/ $\sqrt{2}$ . Wir rotieren v₁ um π/2 gegen den Uhrzeigersinn und erhalten den normierten Eigenvektor v₂ = α (−1, 1) zum zweiten Eigenwert λ₂ = 8. Damit erhalten wir:

B = (v₁; v₂) = α $( \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )$ = rot_π/4

B^t A B = α² $( \begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 5 & - 3 \\ - 3 & 5 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{matrix} )$ = diag(λ₁, λ₂)

Alternativ können wir auch die konkreten Formeln für die Eigenvektoren verwenden (vgl. das Kapitel über den Spektralsatz).

Insgesamt haben wir die Gleichung 5x² − 6xy + 5y² − 14x + 2y + 5 = 0 durch Zentrierung und Rotation in die Gleichung

x″² + 4y″² = 4

übergeführt.

Zentrierung durch −v₀ = (−2, −1) und Rotation um −φ mit φ = π/4:

5x² − 6xy + 5y² + 14x + 2y + 5 = 0 (blau)

5x² − 6xy + 5y² − 8 = 0 (gelb), x² + 4y² = 4 (grün)

Beispiel: Hyperbel

Im Beispiel oben hatten wir die algebraische Gleichung

5x² − 6xy − 5y² + 14x + 2y + 5 = 0

durch v₀ = 1/17 (19, −8) zentriert und so die Gleichung

5x² − 6xy + 5y² − 56/17 = 0

erhalten. Die darstellende Matrix ist A = ((5, −3), (−3, −5)) mit Spur 0. Sie hat die Eigenwerte und (nicht normierten) Eigenvektoren

λ₁ = $\sqrt{34}$ , λ₂ = − $\sqrt{34}$ ,

v₁ = (1, (5 − $\sqrt{34}$ )/3), v₂ = rot_π/2(v₁)

Wir erhalten durch Rotation um −φ mit φ = arctan(5 − $\sqrt{34}$ )/3 = −0,27… die Gleichung

$\sqrt{34}$  x² − $\sqrt{34}$  y² − 56/17 = 0

Sie definiert eine Hyperbel und ist äquivalent zu

x² − y² = 56/(17 $\sqrt{34}$ )

Zentrierung durch −v₀ = 1/17 (−19, 8) und Rotation um −φ mit φ = arctan((5 + $\sqrt{34}$ )/3):

5x² − 6xy − 5y² + 14x + 2y + 5 = 0 (blau),

5x² − 6xy + 5y² − 56/17 = 0 (gelb), x² − y² = 56/(17  $\sqrt{34}$ ) (grün)

Schließlich betrachten wir noch einmal unsere Matrix-Ellipsen:

Beispiel: Die Determinante einer Matrix-Ellipse

Sei A = ((a, b), (c, d)) invertierbar, und sei E = A[ K ] die Matrix-Ellipse von A. Dann wird E durch die zentrische Gleichung

(c² + d²) x² − 2(ac + bd) x y + (a² + b²) y² = det(A)²

definiert. Die Determinante dieser Gleichung berechnet sich mit Hilfe der Lagrange-Identität zu

(c² + d²) (a² + b²) − (ac + bd)² = (ad − bc)² = det(A)² > 0

Die Determinante der Gleichung ist also, wie es sein muss, positiv. Die Matrix A kann dabei eine negative Determinante besitzen.