Rotation mit Eigenvektoren
Die Elimination des xy-Terms durch Rotation lässt sich auch auf nicht zentrische Gleichungen anwenden. Die Argumentation des letzten Kapitels zeigt:
Satz (allgemeine Rotation mit Eigenvektoren)
Sei a x2 + b x y + c y2 + d x + e y + f = 0 eine algebraische Gleichung zweiten Grades. Dann wird die Gleichung durch (x′, y′) = rot−φ (x, y) in die Form
a′ x′ 2 + c′ y′ 2 + d′ x′ + e′ y′ + f = 0
übergeführt, wobei
rotφ = (v1; v2), a′ = λ1, c′ = λ2, d′ = 〈 v1, (d, e) 〉, e′ = 〈 v2, (d, e) 〉
mit orthonormalen Eigenvektoren v1, v2 (v2 = rotπ/2(v1)) und zugehörigen Eigenwerten λ1, λ2 von A = ((a, b/2), (b/2, c)).
Beweis
Es sind nur noch die Formeln für d′ und e′ zu beweisen. Die Ausgangsgleichung in x und y lautet
〈 (x, y), A (x, y) 〉 + 〈 (d, e), (x, y) 〉 + f = 0
Mit (x, y) = rotφ(x′, y′) = (v1; v2) (x′, y′) wird der lineare Anteil in x und y zu
〈 (d, e), (v1; v2) (x′, y′) 〉 = 〈 (v1, v2) (d, e), (x′, y′) 〉 = d′ x′ + e′ y′
mit d′ = 〈 v1, (d, e) 〉, e′ = 〈 v2, (d, e) 〉.
Dieses Ergebnis werden wir nun zur Behandlung des singulären Falls verwenden.