Algebraische Gleichungen für Leitlinienkegelschnitte

Als Anwendung unserer Klassifikation betrachten wir noch einmal Leitlinien.

Satz (Leitliniensatz)

Seien G = v₀ + span(u) eine affine Gerade im ℝ², F  ∈  ℝ² und ε  ∈  ] 0, ∞ [. Dann ist

L = L_G(F, ε) = { v  ∈  ℝ² | d(v, F) = ε d(v, G) }

ein Kegelschnitt. Ist v₀ = (x₀, y₀), u = (u₁, u₂) normiert und F = (x_F, y_F), so wird L definiert durch

a x² + b x y + c y² + d x + e y + f = 0, mit

a = 1 − ε² u₂², b = 2 ε² u₁ u₂, c = 1 − ε² u₁²

d = − 2 (x_F − ε² δ u₂), e = − 2 (y_F + ε² δ u₁)

f = x_F² + y_F² − ε² δ², wobei

δ = det(v₀; u) = x₀ u₂ − y₀ u₁

Für die darstellenden Matrizen der Gleichung gilt

det(A_2 × 2) = a c − b²/4 = 1 − ε²

det(A_3 × 3) = − ε² 〈 u_⊥, F − v₀ 〉²

Der Kegelschnitt ist genau dann degeneriert, wenn F  ∈  G. Andernfalls ist L eine Ellipse (ε < 1), eine Parabel (ε = 1) oder eine Hyperbel (ε > 1).

Beweis

Mit der Abstandsformel d(v, G) = |det(u; v − v₀)| gilt:

L	= { v  ∈  ℝ² \| ∥ v − F ∥² − ε² det(u; v − v₀)² = 0 }
	= { (x, y)  ∈  ℝ² \| (x − x_F)² + (y − y_F)² − ε² (u₁ (y − y₀) − u₂ (x − x₀))² = 0 }

Ausmultiplizieren liefert die quadratische Gleichung des Satzes. Für die darstellende Matrix

A_3 × 3 = ((a, b/2, d/2), (b/2, c, e/2), (d/2, e/2, f))

gilt (mit Computer-Unterstützung für A_3 × 3):

det(A_2 × 2) = a c − b²/4 = 1 − ε², det(A_3 × 3) = − ε² 〈 u_⊥, F − v₀ 〉²

Wegen ε > 0 gilt det(A_3 × 3) = 0 genau dann, wenn 〈 u_⊥, F − v₀ 〉 = 0. Dies ist genau dann der Fall, wenn u und F − v₀ kollinear sind. Dies ist äquivalent zu F  ∈  G. Aus den Klassifikationssätzen folgen die Behauptungen.

Dass F ein Brennpunkt von L ist, lässt sich vielleicht am einfachsten wieder durch die Fokusierung „F = 0“ einsehen. Zudem wird dadurch die Berechnung der (3 × 3)-Determinante erheblich einfacher:

Der Punkt F als Ursprung

Durch Translation und Rotation können wir annehmen, dass

F = 0, v₀ = (x₀, 0), u = (0, 1), δ = det(v₀; u) = x₀

Für diese Situation ergeben sich die Koeffizienten

a = 1 − ε², b = 0, c = 1, d = 2 ε² x₀, e = 0, f = − ε² x₀²,

sodass L durch die Gleichung

(+) (1 − ε²) x² + y² + 2 ε² x₀ x − ε² x₀² = 0

definiert wird. Dies ist äquivalent zu

x² + y² = (η − ε x)² mit η = ε x₀

Dies ist unsere universelle Gleichung für einen fokusierten Kegelschnitt der Exzentrizität ε. Die darstellende Matrix von (+) ist

A_3 × 3 = $( \begin{matrix} 1 - ε^{2} & 0 & ε^{2} x_{0} \\ 0 & 1 & 0 \\ ε^{2} x_{0} & 0 & - ε^{2} x_{0}^{2} \end{matrix} )$

Wir können per Hand leicht ausrechnen, dass det(A_3 × 3) = − ε² x₀². Also ist L genau dann degeneriert, wenn x₀ = 0. Dies ist äquivalent zu F  ∈  G, und diese Eigenschaft ist invariant unter Translation und Rotation.