Degenerierte Kegelschnitte als Grenzwerte
Die degenerierten Kegelschnitte können wir als gewisse Limiten von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln auffassen. Die folgenden Diagramme geben einige Beispiele. Zur Vereinfachung der Sprechweise identifizieren wir dabei algebraische Gleichungen mit ihrer Lösungsmenge.
Wir beginnen mit zwei parallelen Geraden:
Die zwei parallele Geraden y2 = 1 lassen sich als Limes der Ellipsen
x2/σ2 + y2 = 1
auffassen, wenn die große Halbachse σ gegen unendlich strebt, während die kleine Halbachse konstant gleich 1 ist. Im Diagramm ist σ = 2, 4, 8, 16.
Analog für die Hyperbeln
−x2/σ2 + y2 = 1
für σ → ∞. Im Diagramm ist wieder σ = 2, 4, 8, 16.
Der in den Diagrammen anschaulich verwendete Grenzwertbegriff lässt sich leicht präzisieren:
Präzisierung durch Vereinigungen und Durchschnitte
Der waagrechte offene Streifen des ersten Diagramms (ohne die beiden Geraden) ist die mengentheoretische Vereinigung des Inneren der Ellipsen. Die Ellipsen schöpfen den offenen Streifen aus. Setzen wir
S = { (x, y) ∈ ℝ2 | y2 < 1 }
Eσ = { (x, y) ∈ ℝ2 | x2/σ2 + y2 < 1 } für σ > 0,
so gilt
S = ⋃σ ≥ 0 Eσ = ⋃n ≥ 1 E2n
Im zweiten Diagramm ist der abgeschlossene waagrechte Streifen (einschließlich der Geraden) der Durchschnitt der Flächen zwischen den Hyperbel-Ästen. Die Hyperbeln umschließen den abgeschlossenen Streifen. Setzen wir
S = { (x, y) ∈ ℝ2 | y2 ≤ 1 }
Hσ = { (x, y) ∈ ℝ2 | −x2/σ2 + y2 ≤ 1 } für σ > 0,
so gilt
S = ⋂σ > 0 Hσ = ⋂n ≥ 1 H2n
Analoge Überlegungen gelten für die folgenden Beispiele.
Die Winkelhalbierenden als Limes der Hyperbeln x2 − y2 = 1/σ für σ → ∞.
Im Diagramm ist σ = 1, 2, 4, 8. Analog lässt sich das Achsenkreuz als Grenzwert der Hyperbeln x y = 1/σ für σ → ∞ darstellen.
Der Nullpunkt x2 + y2 = 0 als Grenzwert der Kreise x2 + y2 = 1/r2 für r → ∞. Im Diagramm ist r = 1, 2, 4, 8, 16, 32.