Parabeln als Grenzwerte von Ellipsen und Hyperbeln
Die Parabeln sind die nicht degenerierten Kegelschnitte mit Determinante Null. Wir können sie durch Ellipsen mit positiver Determinante von innen und durch Hyperbeln mit negativer Determinante von außen approximieren. Etwas salopp gesprochen erscheint eine Parabel so als offene Ellipse und als zurechtgebogene Hyperbel, deren zweiter Ast im Unendlichen verschwunden ist. Wir sind diesen Approximationen bei der Diskussion des Fokuspunkts einer Parabel bereits begegnet, aber eine Wiederholung schadet an dieser Stelle nicht.
Beispiel: Ausschöpfung einer Parabel durch Ellipsen
Eine affine Ellipse Eσ, τ, 0, (σ, 0) mit Mittelpunkt (σ, 0) und Halbachsen σ, τ mit τ = wird definiert durch die Gleichung
x2/σ + y2 − 2x = 0
Wir erhalten diese Gleichung, wenn wir in x2/σ2 + y2/τ2 = 1 die Substitution x′ = x + σ, y′ = y durchführen und mit σ multiplizieren (und statt x′, y′ wieder x, y schreiben). Strebt nun σ gegen unendlich, so erhalten wir im Limes die Parabelgleichung
y2 − 2 x = 0
Die Parabel y2 − 2 x = 0 und die Ellipsen
x2/σ + y2 − 2x = 0
für die großen Halbachsen σ = 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Um eine Parabel der Öffnung a > 0 zu erhalten, können wir die affinen Ellipsen Eσ, τ, 0, (σ, 0) mit
τ =
verwenden. Die definierenden Gleichungen lauten nun
x2/σ + 2ay2 − 2x = 0
Strebt σ gegen unendlich, so erhalten wir im Limes die Gleichung
a y2 − x = 0
für eine Parabel der Öffnung a.
Beispiel: Umschließung einer Parabel durch Hyperbeln
Analog lässt sich die Parabel a y2 − x = 0 als Limes der HyperbelnHσ, τ, 0, (−σ, 0), τ = darstellen, die durch
x2/σ − 2 a y2 + 2x = 0
definiert werden. Die linken Äste der Hyperbeln verschwinden im Unendlichen.
Die Parabel y2 − 2 x = 0 der Öffnung a = 1/2 und die Hyperbeln
x2/σ − y2 + 2x = 0
für σ = 2, 4, 8, 16, 32, 64.