Quadriken

Ein Kegelschnitt ist definiert durch eine algebraische Gleichung der Form

a x² + b x y + c y² + d x + e y + f = 0, (a, b, c) ≠ 0

mit zwei reellen Variablen x, y. Eine natürliche Verallgemeinerung ist es, quadratische Gleichungen in drei reellen Variablen zu betrachten:

Definition (Quadrik)

Seien a, b, c, d, e, f, u₁, u₂, u₃, u₄  ∈  ℝ mit (a, b, c, d, e, f) ≠ 0. Dann heißt

(+) a x² + b y² + c z² + d x y + e x z + f y z + u₁ x + u₂ y + u₃ z + u₄ = 0

eine quadratische Gleichung in den Variablen x, y, z. Die Zahlen a, …, f, u₁, …, u₄ heißen die Koeffizienten der Gleichung.

Die Lösungsmenge Q ⊆ ℝ³ der Gleichung (+) heißt die durch die Gleichung definierte Quadrik des ℝ³.

Quadriken lassen sich wie Kegelschnitte mit Hilfe von Matrizen elegant darstellen und untersuchen. In der Situation der Definition setzen wir:

u = (u₁, u₂, u₃) (Spaltenvektor), u^t = (u₁; u₂; u₃) (Zeilenvektor)

A_Q = $( \begin{matrix} a & d / 2 & e / 2 \\ d / 2 & b & f / 2 \\ e / 2 & f / 2 & c \end{matrix} )$   ∈  ℝ^3 × 3, B_Q = $( \begin{matrix} A_{Q} & 1 / 2 u \\ 1 / 2 u^{t} & u_{4} \end{matrix} )$   ∈  ℝ^4 × 4

Wir nennen A_Q und B_Q die darstellenden Matrizen der Quadrik Q. Die Matrix A_Q beschreibt den quadratischen Anteil. Es gilt:

(++) Q	= { (x, y, z)  ∈  ℝ³ \| 〈 (x, y, z), A_Q (x, y, z) 〉 + 〈 (x, y, z), u 〉 + u₄ = 0 }
	= { (x, y, z)  ∈  ℝ³ \| 〈 (x, y, z, 1), B_Q (x, y, z, 1) 〉 = 0 }

Ist umgekehrt A  ∈  ℝ^3 × 3 symmetrisch mit A ≠ 0, und sind u = (u₁, u₂, u₃)  ∈  ℝ³ sowie u₄  ∈  ℝ beliebig, so ist die wie in (++) mit Hilfe von A definierte Menge Q eine Quadrik. Analoges gilt für B_Q.

Beispiele

Der Doppelkegel C ist eine Quadrik. Er wird definiert durch die Gleichung x² + y² − z² = 0 und dargestellt durch A_Q = diag(1, 1, −1). Die Matrix B_Q hat eine zusätzliche Nullspalte und Nullzeile. Analog wird die Einheitskugel definiert durch die Gleichung x² + y² + z² − 1 = 0 mit A_Q = E₃, u = 0 und u₄ = −1. Weitere Beispiele (und Visualisierungen) diskutieren wir unten.