1. Der harmonische Oszillator

Das zweite Newtonsche Gesetz der klassischen Mechanik hat für die eindimensionale Bewegung q : ℝ → ℝ eines durch einen Massepunkt idealisierten Körpers die Form

F  =  m q″(Kraft gleich Masse mal Beschleunigung)

Dabei ist F = F(x, v, t) eine im Allgemeinen vom Ort x, der Geschwindigkeit v und der Zeit t abhängige Kraft, m die konstante Masse des Körpers und q = q(t) der zeitabhängige Ort seines Schwerpunkts. Gilt F(x) = − k x mit einer Konstanten k > 0, so sprechen wir von einem (freien, eindimensionalen) harmonischen Oszillator (mit frei = „ohne äußere Kraft“). Eine derartige Kraft ist zeitunabhängig und proportional zum Ort. Mathematisch ist sie die Gerade durch den Nullpunkt mit der Steigung −k. Die Lösungen q : ℝ → ℝ der Differentialgleichung

(+)  − k q(t)  =  m q″(t)  (mit gegebenen Konstanten m, k > 0)

lassen sich mit Hilfe des Kosinus und Sinus leicht angeben. Ellipsen zeigen sich, wenn wir in den Phasenraum übergehen und das Paar (q, m q′) der Ebene betrachten, d. h. zur Ortsfunktion q(t) den Impuls m q′(t) dazunehmen: Die Menge { (q(t), m q′(t)) | t  ∈  ℝ } ist eine Ellipse, wenn q die Differentialgleichung (+) löst.