Der Grenzfall

 Obige Überlegungen gelten unter der Voraussetzung der „schwachen Dämpfung“ die wir durch unsere Rechnungen zur Bedingung

μ  <  2 m ω

präzisieren konnten. Die gedämpfte Kreisfrequenz ω* konvergiert gegen 0, wenn μ gegen 2 m ω strebt. Im Grenzfall μ = 2 m ω liegt keine unendliche Oszillation mehr vor, die Funktion ist, wenn man so sagen will, auf eine Periode gestreckt. Um Lösungen auch für größere Dämpfungen zu finden, modifizieren wir unseren Ansatz: Wir behalten die Funktion e^−λt bei, ersetzen aber die Schwingung cos(ωt − φ) durch eine andere Funktion, die wir nun als zeitabhängige Skalierung der Funktion e^−λt auffassen (während wir bisher e^−λt als Skalierung einer Schwingung angesehen haben). Sei also q : ℝ → ℝ von der Form

q(t)  =  c(t) e^−λt  für alle t  ∈  ℝ

mit einer zweimal differenzierbaren Funktion c : ℝ → ℝ. Dann gilt für alle t  ∈  ℝ:

Für Schwingungen c(t) ist der dritte Summand ein skalares Vielfaches von q, sodass wir ihn in den ersten Summanden aufnehmen können (in der Form − ω*² q). Nun sehen wir eine neue Möglichkeit: Der dritte Summand verschwindet, wenn c eine lineare Funktion der Form c(t) = a t + b ist. Es gilt dann

(+)  q″(t)  =  − λ² q(t)  −  2 λ q′(t)  für alle t  ∈  ℝ

Für μ = 2 m ω wird die Differentialgleichung q″(t) = − ω² q(t) − μ/m q′(t) zu

(#)  q″(t)  =  − ω² q(t)  −  2 ω q′(t)

Mit λ = ω ist also q : ℝ → ℝ mit

q(t)  =  (a t + b) e^−ωt  für alle t  ∈  ℝ

für alle a, b  ∈  ℝ eine Lösung von (#). Es gilt

q(0)  =  b,  q′(0)  =  − λ q(0) + c′(t)  =  − ω b + a

Das AWP mit den Startwerten x₀ und v₀ wird also gelöst durch

b  =  x₀,  a  =  v₀ + ω x₀