Starke Dämpfung

Es bleibt der Fall μ > 2 m ω zu behandeln. Wir betrachten hierzu noch einmal den Ansatz q(t) = c(t) e^−λ t und die Ableitungen

q′(t) = − λ q(t) + c′(t) e^−λ t, q″(t) = − λ² q(t) − 2 λ q′(t) + c″(t) e^−λt

Nach den Schwingungen mit c″(t) = − ω*² c(t) und dem aperiodischen Grenzfall c″(t) = 0 streben wir nun

c″(t) = ω*² c(t), q″(t) = − ω² q(t) − 2 λ q′(t)

mit erneut λ = μ/(2m) an, wobei wir jetzt wegen μ > 2 m ω

ω* = $\sqrt{λ^{2} - ω^{2}}$

setzen, sodass λ² = μ²/(4m²) > ω². Dies können wir durch c : ℝ → ℝ mit

c(t) = a e^ω* t + b e^{− ω* t} für alle t  ∈  ℝ

erreichen. Diese Funktion entspricht der Funktion

a cos(ω* t) + b sin(ω* t) (= c cos(ω* t − φ))

des ersten Falls. Damit ist für alle a, b  ∈  ℝ die Funktion q : ℝ → ℝ mit

(+) q(t) = c(t) e^−λ t = (a e^ω*t + b e^−ω* t) e^− λ t, λ = μ/(2m), ω* = $\sqrt{λ^{2} - ω^{2}}$

eine Lösung der Differentialgleichung

(#) q″(t) = − ω² q(t) − μ/m q′(t) mit μ > 2 m ω

Bemerkung

Die fallabhängigen Definitionen von ω* lassen sich durch

ω* = $\sqrt{| λ^{2} - ω^{2} |}$ , λ = μ/(2m), ω = $\sqrt{k / m}$

zusammenfassen. Im aperiodischen Grenzfall ist λ = ω und ω* = 0. Für kleine Dämpfungen ist ω > λ, für große Dämpfungen gilt ω < λ.

Sind Anfangswerte x₀ und v₀ gegeben, so müssen wir a, b so wählen, dass

x₀ = q(0) = c(0) = a + b

v₀ = q′(0) = − λ q(0) + c′(0) = − λ x₀ + ω* (a − b)

Auflösen nach a und b ergibt

a = ^{(ω* + λ) x₀ + v₀}_2 ω*, b = ^{(ω* − λ) x₀ − v₀}_2ω*

Beispiel (Kriechfall, starke Dämpfung)

Für m = 1, μ = 3, k = 1/2 und die Anfangswerte x₀ = 1, v₀ = 2 erhalten wir die Lösung q : ℝ → ℝ mit

q(t) = (a e^ω*t + b e^−ω* t) e^− λ t, wobei

λ = 3/2, ω* = $\sqrt{7}$ /2, a = (1 + $\sqrt{7}$ )/2, b = (1 − $\sqrt{7}$ )/2

Im Phasenraum nähert sich die Lösung annähernd linear dem Nullpunkt: Der Körper „kriecht“ zum Ursprung (entlang der gestrichelten Geraden). Diese lineare Annäherung werden wir gleich nachweisen.

Die augenfällige fast lineare Annäherung an den Ursprung im Phasenraum lässt sich durch die Berechnung des Quotienten q′/q erklären. Es gilt

^q′(t)_q(t)	= ^{−λ q(t) + c′(t) e^−λt}_q(t) = −λ + ω* (^{a e^ω* t − b e^−ωt}_{a e^ωt + b e^−ω* t})
	= −λ + ω* (1 − ^{2b e^−ωt}_{a e^ωt + b e^−ω* t}) für alle t  ∈  ℝ mit q(t) ≠ 0

Folglich gilt

lim_t → ∞ q′(t)/q(t) = ω* − λ

Beispiel

In der Situation des obigen Beispiels ist der Grenzwert gleich

ω* − λ = ( $\sqrt{7}$ − 3)/2 ∼ − 0,18

Die Halbgerade des Diagramms hat diese Steigung.

Verwendung der hyperbolischen Funktionen

Wir haben im stark gedämpften Fall die Funktionen e^ω* t und e^−ω* t zur Darstellung der Lösung verwendet. Alternativ können wir die hyperbolischen Funktionen cosh und sinh einsetzen. Den gedämpften Schwingungen

(a cos(ω* t) + b sin(ω* t)) e^−λ t

stehen dann die „bis auf ein h“ identischen Funktionen

(a cosh(ω* t) + b sinh(ω* t)) e^−λ t

der starken Dämpfung gegenüber. Mit Hilfe der Additionstheoreme

cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)

sinh(x + y) = cosh(x) sinh(y) + cosh(x) sinh(y)

können wir die Form

c cosh(ω* t + t₀) e^−λ t

erreichen, in Analogie zu c cos(ω* t + φ) e^−λ t.

Verwendung der komplexen Exponentialfunktion

Umgekehrt lässt sich die Exponentialfunktion zur Lösung an die Spitze stellen. Durch imaginäre Exponenten kommen die trigonometrischen Funktionen durch die Eulersche Formel e^i t = cos(t) + i sin(t) ins Spiel.

Wir verweisen auf die Literatur zur Analysis (Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten) für die allgemeine Lösungstheorie der hier betrachteten Differentialgleichungen.