Überlagerung einer Kosinus- und Sinusschwingung
Wir können unsere Kosinus-Schwingungen in eine symmetrische Kosinus-Sinus-Form ohne Phasenverschiebung übersetzen. Die Phasenverschiebung wird über die beiden Amplituden erzeugt:
Satz (Überlagerungsform)
Seien a, b, c, φ, ω ∈ ℝ mit c > 0. Es gelte
(a, b)kartesisch = (c, φ)polar
Dann gilt
c cos(ωt − φ) = a cos(ωt) + b sin(ωt) für alle t ∈ ℝ
Die Aussage lässt sich leicht mit Hilfe des Additionstheorems
c cos(ωt − φ) = c cos(φ) cos(ωt) + c sin(φ) sin(ωt) für alle t ∈ ℝ
zeigen. Wir verweisen auf das Intermezzo „Eine Lösungsformel für trigonometrische Gleichungen“ für einen ausführlichen Beweis des Satzes.
Übersetzung der Koeffizienten
Die beiden Darstellungen lassen sich durch
a = c cos(φ), b = c sin(φ)
c = , φ = arg(a, b)
ineinander übersetzen. Der Wechsel zwischen den Darstellungen entspricht dem Übergang von Polarkoordinaten (c, φ) zu kartesischen Koordinaten (a, b) und umgekehrt. Die Kreisfrequenz ω bleibt bei der Übersetzung unverändert.
Sinus-Version
Mit der Formel sin(t) = cos(t − π/2) erhalten wir für alle t ∈ ℝ:
| c sin(ωt − φ) | = c cos(ωt − (φ + π/2)) |
| = a′ cos(ωt) + b′ sin(ωt)mit (a′, b′)kartesisch = (c, φ + π/2)polar | |
| = − b cos(ωt) + a sin(ωt)mit (a, b)kartesisch = (c, φ)polar |
Nullschwingungen
Die Identität gilt trivialerweise auch im Fall a = b = c = 0 (mit φ beliebig und Nullschwingungen). Dem Nullpunkt werden üblicherweise keine Polarkoordinaten zugeordnet. Mit der Konvention arg(0, 0) = 0 gilt der Satz auch für c = 0.
Beispiel 1: Typische Überlagerung
Es gilt 3 cos(2t) − 4 sin(2t) = c cos(2t − φ) für alle t ∈ ℝ,
wobei c = = 5, φ = arg(3, −4) = arctan(−4/3) = − 0,927…
Beispiel 2: Gleiche Amplituden
Im Spezialfall a = b ≠ 0 erhalten wir
c = = = |a|
π = arg(a, a) = arctan(1) = π/4, falls a > 0
π = arg(a, a) = arctan(1) − π = − 3π/4, falls a < 0
Es gilt : 3 cos(2t) + 3 sin(2t) = 3 cos(2t − π/4) für alle t ∈ ℝ,
da = 3 , arg(3, 3) = arctan(1) = π/4