Ellipsen im Phasenraum

Im Folgenden seien stets m, k > 0 und (x₀, v₀) ≠ 0. Wir setzen zudem

ω = $\sqrt{k / m}$ , T = 2π/ω

Wir schreiben die Differentialgleichung m q″(t) = − k q(t) in der eleganten Form

q″(t) = − ω² q(t)

In die Lösung q : ℝ → ℝ geht neben den Anfangswerten x₀ und v₀ nur die Kreisfrequenz ω ein. Das Quadrat bei ω erklärt sich durch zweimaliges Nachdifferenzieren der Funktionen cos(ωt) und sin(ωt). Verwendet wird oft auch die Variante

q″(t) + ω² q(t) = 0,

in der die Lösung als Nullstelle einer Funktionalgleichung erscheint.

Wir betrachten nun Ort und Impuls und formulieren neu:

Lösung des harmonischen Oszillators in Ort und Impuls

Das AWP „q″(t) = − ω² q(t), q(0) = x₀, q′(0) = v₀“ wird durch die Schwingung q : ℝ → ℝ mit

q(t) = c cos(ωt − φ), c = $\sqrt{x_{0}^{2} + (v_{0} / ω)^{2}}$ , φ = arg(x₀, v₀/ω)

mit der Periode T gelöst. Für die Impulsfunktion p : ℝ → ℝ gilt

p(t) = m q′(t) = − m ω c sin(ωt − φ)

Wir definieren für die Lösung q die Kurve g : [ 0, T ] → ℝ² im zweidimensionalen Phasenraum ℝ² = ℝ × ℝ (interpretiert als Ort × Impuls) durch

g(t) = (q(t), p(t)) = (c cos(ωt − φ), − m ω c sin(ωt − φ)) für alle t  ∈  [ 0, T ]

Wir lesen ab, dass g eine Parametrisierung der achsenparallelen Ellipse E_{σ₁, σ₂} mit den Halbachsen

σ₁ = c = $\sqrt{x_{0}^{2} + (v_{0} / ω)^{2}}$ (Amplitude)

σ₂ = m ω c = m ω σ₁(maximaler Impulsbetrag)

ist. Mit diesen Werten gilt

g(t) = (σ₁ cos(ωt − φ), − σ₂ sin(ωt − φ)) für alle t  ∈  [ 0, T ]

Die Parametrisierung g hat folgende Eigenschaften:

(a)	Der Start- und Endpunkt ist g(0) = g(T) = (q(0), p(0)) = (x₀, m v₀)).

(b)	Die Ellipse wird im Uhrzeigersinn durchlaufen.

(c)	Die Durchlaufgeschwindigkeit ist ω.

Bemerkung

Wir können die Kurve g mit der Bijektion h : [ − φ, − φ + 2π ] → [ 0, T ] mit

h(t) = (t + φ)/ω für alle t  ∈  [ −φ, −φ + 2π ]

reparametrisieren. Es gilt

g(h(t)) = (σ₁ cos(t), − σ₂ sin(t)) für alle t  ∈  [ − φ, − φ + 2π ]

Damit ist g ∘ h : [ − φ, − φ + 2π ] → ℝ² (und folglich g) eine Parametrisierung von E_σ₁,σ₂. Aufgrund des negativen Vorzeichens in der zweiten Komponente wird die Ellipse E_{σ₁, σ₂} im Uhrzeigersinn durchlaufen.

Wir fassen unsere Ergebnisse zusammen:

Satz (Lösung als Ellipse im Phasenraum)

Sei q : ℝ → ℝ die Lösung des AWP

q″(t) = − ω² q(t), q(0) = x₀, q′(0) = v₀

Weiter sei p = m q die zur Lösung gehörige Impulsfunktion. Mit

σ₁ = c = $\sqrt{x_{0}^{2} + (v_{0} / ω)^{2}}$ , σ₂ = m ω σ₁

gilt:

{ (q(t), p(t))  ∈  ℝ² | t  ∈  [ 0, T ] } = E_{σ₁, σ₂}

Sei φ = arg(x₀, v₀/ω). Dann wird die Ellipse E_{σ₁, σ₂} parametrisiert durch die Kurve g : [ 0, T ] → ℝ² mit

g(t) = (q(t), p(t)) = (σ₁ cos(ωt − φ), − σ₂ sin(ωt − φ)) für alle t  ∈  [ 0, T ]

Es gilt g(0) = (q(0), p(0)) = (x₀, m v₀).

Visualisierungen dieses Ergebnisses reichen wir bei der Diskussion von Richtungsfeldern nach.

Der Zusammenhang

σ₂ = m ω σ₁ = m $\sqrt{k / m}$ σ₁ = $\sqrt{m k}$ σ₁

zwischen den Halbachsen ist bemerkenswert. In der Form m ω ist der Skalar bei σ₁ das Produkt der Masse und der Kreisfrequenz der Schwingung. In der Form $\sqrt{m k}$ wird die erste Halbachse skaliert mit dem geometrischen Mittel der Masse m und der Konstanten k der Kraft F. Es gilt λ₂ = m k λ₁ für die Quadrate λ_1,2 der Halbachsen. Die Exzentrizität der Ellipse berechnet sich damit zu

e_lin = $\sqrt{λ_{1} - λ_{2}}$ = σ₁ $\sqrt{1 - m k}$ , ε_num = $\sqrt{1 - m k}$ , falls σ₁ ≥ σ₂

e_lin = $\sqrt{λ_{2} - λ_{1}}$ = σ₁ $\sqrt{m k - 1}$ , ε_num = ¹_m ω $\sqrt{m k - 1}$ , falls σ₂ ≥ σ₁