Visualisierung durch Richtungsfelder
Die Lösungen des harmonischen Oszillators im Phasenraum lassen sich durch ein Vektorfeld visualisieren. Für eine gegeben Masse m und Konstante k lauten die Differentialgleichungen für den Ort q und den Impuls p:
(+) q′ = p/m, p′ = − k q
Wir definieren ein zweidimensionales Vektorfeld f : ℝ2 → ℝ2 durch
f(q, p) = (q′, p′) = (p/m, − k q) = 1/m (p, − ω2q) für alle (q, p) ∈ ℝ2
Wir können f : ℝ2 → ℝ2 durch ein Richtungsfeld visualisieren, indem wir an ausgewählten Punkten (q, p) die Vektoren f(q, p) anheften. Der Übersichtlichkeit halber skalieren wir diese Vektoren auf eine gemeinsame kurze Länge, sodass sich die Pfeile nicht überlappen. Die Länge ∥ f(q, p) ∥ der Vektoren können wir mit Hilfe von Farben darstellen.
Das Richtungsfeld f : ℝ2 → ℝ2 mit f(q, p) = (p, − k q) für m = 1 und k = 1/3.
Die Farben geben die Längen der Vektoren an, entsprechend der Legende auf der rechten Seite des Diagramms.
Eine Lösung der Differentialgleichung (+) ist eine Kurve g : ℝ → ℝ2 im Phasenraum, die an jeder Stelle den Pfeilen folgt. Genauer ist eine differenzierbare Kurve g : ℝ → ℝ2 genau dann eine Lösung, wenn
g′(t) = f (g(t)) für alle t ∈ ℝ
Bei einem Anfangswertproblem ist zusätzlich der Startpunkt
g(0) = (x0, m v0)
oder alternativ ein Punkt g(t0) für eine gewisse Zeit t0 vorgegeben.
Das Richtungsfeld führt ohne Lösen der Differentialgleichung vor Augen, dass die Lösungen des harmonischen Oszillators im Phasenraum achsenparallele Ellipsen sind, die im Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Der Faktor k der Kraft F bestimmt für m = 1 die Form der Ellipsen vollständig. Für den Wert k = 1 erhalten wir Kreise, für k < 1 Ellipsen mit großer Halbachse auf der q-Achse, für k > 1 Ellipsen mit großer Halbachse auf der p-Achse.
Die Lösung g : [ 0, T ] → ℝ2 des harmonischen Oszillators im Phasenraum für
m = 1, k = 1/3, x0 = 3, v0 = 1 mit σ1 = = 2 , σ2 = m ω σ1 = 2
Es gilt g(0) = (x0, v0) = (3, 1), im Diagramm als Punkt eingezeichnet. Die Ellipse wird im Uhrzeigersinn in der Zeit T = 2π/ω durchlaufen (von lila nach rot; die Farben der Ellipse entsprechen der Durchlaufzeit sind unabhängig von denen des Vektorfeldes).
Ellipse in zweiter Hauptlage erhalten wir im Fall m ω > 1:
Analog für m = 1, k = 16, x0 = 1, v0 = 0 mit den Halbachsen
σ1 = 1, σ2 = m ω σ1 = = 4
Die starke Kraft führt zu einer Schwingung mit einem im Vergleich zur Amplitude großen maximalen Impulsbetrag bei den Nulldurchgängen im Ort.
Bemerkung
Die Ellipsen folgen den Pfeilen, verlaufen aber nicht, wie es vielleicht scheinen mag, entlang einer bestimmten Farbe. Für alle t ∈ ℝ gilt
∥ f(q(t), p(t)) ∥2 = p(t)2/m2 + k2 q(t)2(Vektorlängen)
während
2 c0 = 2 H(q(t), p(t)) = p(t)2/m + k q(t)2
mit der konstanten Gesamtenergie c0. Nur für k = m = 1 (Kreisfall) sind die Werte identisch. Durch die Ähnlichkeit der Terme wird aber das vergleichsweise enge Farbspektrum der Pfeile, durch die die Lösung verläuft, erklärt.