Der gedämpfte harmonische Oszillator

 Die Schwingungen des harmonischen Oszillators haben eine konstante Amplitude. Berücksichtigen wir eine zur Geschwindigkeit des Massepunktes indirekt proportionale Dämpfung (zum Beispiel durch Reibung), so erhalten wir einen (freien, eindimensionalen) gedämpften harmonischen Oszillator, dessen Lösungen in der Zeit ausklingen: Es gilt lim_t → ∞ q(t) = 0 für jede Lösung q. Ein solcher Oszillator wird durch eine Differentialgleichung der Form

(#)  m q″(t)  =  − k q(t)  −  μ q′(t),  q″(t)  =  − ω² q(t)  −  μ/m q′(t)

mit einer Dämpfung oder Reibungskonstanten μ > 0 beschrieben. In Ort- und Impuls lautet die Differentialgleichung nun

(+)  q′  =  p/m,  p′  =  − k q  −  μ p

Das zugehörige Vektorfeld f : ℝ² → ℝ² ist definiert durch

f(q, p)  =  (q′, p′)  =  (p/m, − k q − μ p)  für alle (q, p)  ∈  ℝ²