Das Zwei-Körper-Problem

 Wir betrachten nun zwei Massepunkte q₁, q₂ (mit q₁ ≠ q₂) mit den positiven Massen m₁ bzw. m₂. Der Massepunkt q₁ bewegt sich unter dem Einfluss einer Kraft F₁, die q₂ auf ihn ausübt, und analog bewegt sich q₂ gemäß einer von q₁ ausgehenden Kraft F₂. Wir nehmen an, dass die beiden Kräfte nur von der Differenz

q  =  q₁ − q₂(Differenzvektor von q₂ nach q₁)

der Orte abhängen (und nicht von den Positionen q₁ und q₂ bzgl. eines Koordinatensystems; wir bevorzugen q₁ − q₂, könnten aber äquivalent mit q₂ − q₁ arbeiten). Die Kräfte haben also die Form F₁(q) bzw. F₂(q). Die Kräfte müssen keine Gravitationskräfte sein. Wir verwenden nur die Newtonschen Gesetze:

 Dieses Zwei-Körper-Problem lässt sich überraschend einfach und allgemein in zwei entkoppelte Probleme auflösen, von denen das eine sehr einfach zu lösen ist. Wir definieren hierzu:

m_G  =  m₁  +  m₂(Gesamtmasse)

s  =  m1 q1 + m2 q2mG(Schwerpunkt)

Für den Schwerpunkt gilt (wie leicht nachzurechnen ist):

(+)  s  =  q₂  +  λ q  =  q₁  −  (1 − λ) q  mit  λ = m₁/m_G  ∈  ] 0, 1 [

Damit liegt s auf der Strecke q₂q₁. Im Fall m₁ = m₂ ist λ = 1/2 und der Schwerpunkt befindet sich genau in der Mitte von q₁ und q₂. Im Fall m₁ < m₂ liegt der Schwerpunkt näher bei q₂ (mit λ < 1/2).

 Mit Hilfe vom m_G und s können wir das Problem stark vereinfachen:

 Das Zwei-Körper-Problem ist nun auf die Lösung der Differentialgleichung (#) reduziert. Ist nämlich q eine Lösung von (+), so lösen

q1  =  s  +  m2mG q,  q2  =  s  −  m1mG q, 

die Gleichungen (I) und (II). Dies ergibt sich unmittelbar aus (+).

 Wir betrachten noch einmal das dritte Keplersche Gesetz für das Zwei-Körper-Problem. Mit der reduzierten Masse erhalten wir für elliptische Bahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt das Verhältnis

^T2_a³  =  ^{4 μ π2} _k  =  ^{4 μ π2} _{G m1 m2}  =  ^{4 π2} _{G mG}  =  ^{4 π2} _{G (m1 + m2)}

Ist die Masse m₂ im Verhältnis zu m₁ sehr groß (wie bei der Sonnenmasse m₂ und einer Planetenmasse m₁), so können wir erneut den Nenner zu G m₂ vereinfachen.