Das zweite Keplersche Gesetz für Zentralkräfte

Aus der Drehimpulserhaltung ergibt sich überraschend einfach:

Satz (zweites Keplersches Gesetz)

Sei q : I → U eine Lösung von (#). Dann überstreicht der Bahnvektor q in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Genauer überstreicht q in einem Zeitintervall [ a, b ] ⊆ I die Fläche

^L₀_2m (b − a),

wobei L₀ = ∥ L(0) ∥ die Länge des konstanten Drehimpulses ist.

Beweis

Die von der Kurve q|[ a, b ] : [ a, b ] → U überstrichene Fläche berechnet sich zu (vgl. das Kapitel über „Flächeninhalte und Bogenlängen):

A(a, b) = ¹₂ ∫^b_a |det(q(t), q′(t))| dt = ¹₂ ∫^b_a ∥ q(t) × q′(t) ∥ dt

Damit gilt unter Verwendung der Drehimpulserhaltung:

A(a, b)	= ¹₂ ∫^b_a ∥ q(t) × q′(t) ∥ dt = ¹_2m ∫^b_a ∥ q(t) × p(t) ∥ dt
	= ¹_2m ∫^b_a ∥ L(t) ∥ dt = ¹_2m ∫^b_a L₀ dt
	= ^L₀_2m (b − a)

Der verwendeten Flächenformel sind wir im ersten Abschnitt bereits begegnet. Die Beweisskizze zur Veranschaulichung der Formel lautet im vorliegenden Kontext:

Zur Integralformel der überstrichenen Fläche

Die Länge des Kreuzprodukts v × w zweier Vektoren v, w  ∈  ℝ³ ist die Fläche des von v und w aufgespannten Parallelogramms, sodass

Δ(v, w) = 1/2 ∥ v × w ∥

die Fläche des von v und w aufgespannten Dreiecks ist. Für eine Partition des Intervalls [ a, b ] mit den Zerlegungspunkten a = t₀ ≤ … ≤ t_n = b ist

∑_{0 ≤ k < n} Δ(q(t_k), q(t_k + 1))	= 1/2 ∑_{0 ≤ k < n} ∥ q(t_k) × q(t_k + 1) ∥
	∼ 1/2 ∑_{0 ≤ k < n} ∥ q(t_k) × (q(t_k) + (t_k + 1 − t_k) q′(t_k)) ∥
	= 1/2 ∑_{0 ≤ k < n} (t_k + 1 − t_k) ∥ q(t_k) × q′(t_k) ∥

eine Approximation an A(a, b). Strebt nun die Feinheit der Partition gegen 0, so ergibt sich die Integralformel für A(a, b).

Ein instruktives Beispiel liefert der harmonische Oszillator:

Das zweite Keplersche Gesetz für den harmonischen Oszillator

Der dreidimensionale isotrope harmonische Oszillator wird beschrieben durch die Differentialgleichung

m q″(t) = − k q̂(t)

Aufgrund der Zentralkraft F(q) = − k q̂ gelten die Drehimpulserhaltung und das zweite Keplersche Gesetz für alle Lösungen der Gleichung. Wir dürfen erneut annehmen, dass die Lösungen in der Ebene ℝ² ⊆ ℝ³ liegen, sodass ein zweidimensionaler Oszillator vorliegt. Eine maximale Lösung q : ℝ → ℝ² ⊆ ℝ³ hat (vgl. das vorangehende Kapitel) die Form

q(t) = A $( \begin{matrix} cos (ω t) \\ sin (ω t) \end{matrix} )$ mit A = $( \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} )$ , ω = $\sqrt{k / m}$

Es gilt L₀ = m ω |det(A) | (da q(0) = (a₁, a₂, 0), q′(0) = ω (b₁, b₂, 0)).

Wir nehmen L₀ ≠ 0 an, sodass q[ ℝ ] = A[ K ] = E_{σ₁, σ₂, φ} für gewisse σ₁, σ₂, φ. Die Lösung überstreicht im Zeitintervall [ t₀, t₁ ] die Sektorfläche

^L₀_2m (t₁ − t₀) = ^{|det(A)| ω}₂ (t₁ − t₀)

Für t₀ = 0, t₁ = 2π/ω erhalten wir die Fläche σ₁ σ₂ π der Bahnellipse, sodass

L₀ = m ω σ₁ σ₂ oder äquivalent |det(A)| = σ₁ σ₂

Für ω = 1 und den Halbachsenstart q(0) = (a₁, 0), q′(0) = (0, b₂) mit a₁, b₂ > 0 ergibt sich im Intervall [ t₀, t₁ ] die Fläche a₁ b₂/2 von E_a₁, b₂, in Übereinstimmung mit unserem Ergebnis in „Flächeninhalte und Bahnlängen“.