Die Kepler-Gleichung für Hyperbeln (Methode 3)

Wie für die Ellipsen können wie die hyperbolische Kepler-Funktion geometrisch interpretieren.

Die exzentrische Anomalie für Hyperbeln

Wir betrachten eine zu den Ellipsen analoge Situation für die rechten Äste zweier Hyperbeln H_a, b und H_a, a (wir wählen hier die rechten Äste, um die Situation im ersten Quadranten darzustellen). Dabei entspricht H_a, b der Ellipse E_a, b und H_a, a dem umschließenden Kreis K_a. Für b < a ergibt sich folgendes Bild:

Gegeben ist eine Hyperbel H_a, b mit rechtem Scheitel P₀ = (a, 0) und rechtem Fokus F₁ = (e, 0) mit e² = a² + b². Weiter sei

P = (r_P, φ)_F₁-polar

ein Punkt auf dem rechten Ast von H_a, b. Durch Streckung entlang der y-Achse um den Faktor a/b erhalten wir den Punkt

Q = a (cosh u, sinh u) = (r_Q, α)_polar (bzgl. des Ursprungs)

auf H_a, a, sodass α = arg(Q). Wir nennen α die exzentrische (Winkel-)Anomalie von P bzgl. H_a, a. Weiter heißt u die exzentrische (Flächen-)Anomalie von P bzgl. H_a, α. Im Gegensatz zu den Ellipsen tauchen bei den Hyperbeln zwei Größen u und α auf. Für Ellipsen ist u = α, denn aus Q = a (sin α, cos α)  ∈  K ergibt sich arg(Q) = α für α  ∈  ] −π, π ]. Es gilt

P = (a cosh u, b sinh u)

Für φ = 0 ist α = 0. Strebt φ gegen δ = arctan(b/a), so strebt α gegen arctan(a/a) = π/4. Um den Zusammenhang zwischen φ und α genauer zu beschreiben, argumentieren wir wie bei den Ellipsen mit Flächen:

Das Dreieck 0F₁Q wird zerlegt in den Hyperbelsektor 0P₀Q (blau) und die Restfläche P₀F₁Q, jeweils mit hyperbolisch gebogenen Verbindungen von P₀ nach Q. Die Restfläche P₀F₁Q ist die Streckung von P₀F₁P (gelb) entlang der y-Achse um den Faktor a/b. Der Hyperbelsektor 0P₀Q hat die Fläche a² u/2 (in Analogie zur Formel für Kreissektoren). Ist ar(φ) die Fläche von P₀F₁P, so gilt also

¹₂ e a sinh u = ^{a² u}₂ + ^a_b ar(φ)

Mit ε = e/a erhalten wir

(+) ^{2 ar(φ)}_ab = ε sinh u − u

Die Formel gilt für alle φ  ∈  ] − δ, δ [ (und damit allen Punkten P auf dem rechten Ast von H_a, b), mit negativen Flächen für φ < 0.

Sei q : ℝ → ℝ eine hyperbolische Lösung von (#) wie oben. Dann gilt

ar(φ(t)) = ^L₀_2m t für alle t  ∈  ℝ (zweites Keplersches Gesetz)

Einsetzen in (+) liefert:

^L₀_a b m t = ε sinh u − u für alle t  ∈  ℝ

Eine Periode T steht für Hyperbeln nicht zur Verfügung. Mit der Formel

L₀ = b $\sqrt{mk / a}$

für den konstanten Betrag des Drehimpulses können wir ω berechnen: Es gilt

ω = ^L₀_a b m = $\frac{\sqrt{mk / a}}{a m}$ = ω′ a^−3/2,

in Übereinstimmung mit dem elliptischen Fall. Wir erhalten:

(++) ω t = ε sinh u − u mit ω = ω′ a^−3/2(Kepler-Gleichung)

Damit haben wir die hyperbolische Kepler-Funktion geometrisch begründet. Die Argumentation lässt sich wie bei den Ellipsen zur Lösungs-Konstruktion verwenden: Ist die Umkehrfunktion der rechten Seite von von (++) bekannt, so liefert ihre Anwendung auf ωt den Parameter u, mit dessen Hilfe q(t) berechnet werden kann: q(t) = (a cosh u, b sinh u).