Parabel-Parametrisierung nach der Fläche (Methode 2)
Wir wenden nun wieder die Parametrisierung nach der überstrichenen Fläche auf eine Parabel der Öffnung a > 0 an. Ausgangspunkt ist die Parametrisierung
f (t) = 14a (1 − t2, 2 t) für alle t ∈ ℝ
der an der negativen x-Achse ausgerichteten und fokusierten Parabel P = PFa. Für alle t ∈ ℝ gilt:
f ′(t) = 14a (− 2t, 2)
| det(f (t), f ′(t)) | = 1(4a)2 (2 − 2t2 + 4t2) |
| = 18a2 (t2 + 1) |
Damit ergibt sich analog zu den Ellipsen und Hyperbeln:
ψ(t) = 18 a2∫t0 s2 + 1 ds = 18 a2 (t33 + t)
φ(t) = ψ−1(t) = par(8a2 t)
Dabei haben wir die obige Berechnung der Umkehrfunktion der durch den Term t3/3 + t definierten reellen Funktion verwendet.
Die Kurve g = f ∘ φ durchläuft P mit der konstanten Flächengeschwindigkeit 1. Um wieder die durch das allgemeine zweite Keplersche Gesetz geforderte Flächengeschwindigkeit L0/(2m) zu erreichen, setzen wir
ω = L02m 8 a2 = 8 a2 = 4 ω′ mit ω′ =
Die Drehimpuls-Formel
L0 =
für Parabeln übernehmen wir hier wieder aus den dem letzten Kapitel. Insgesamt ergibt sich die Lösung q : ℝ → ℝ2 mit
q(t) = 14a (1 − par(ωt)2, 2 par(ωt)) mit ω = 4 ω′
Das Ergebnis stimmt, wie es sein muss, mit dem der ersten Methode überein.