Allgemeine Lösungen für den Drehimpuls Null
Wir können den Lösungsansatz mit inversen Funktionen verwenden, um den Fall eines verschwindenden Drehimpulses zu behandeln. Für Ellipsen und Hyperbeln zeigt eine Durchsicht der Konstruktion der Lösung, dass wir auch im Fall einer degenerierten Halbachse b = 0 Lösungen erhalten (mit ε = 1). Sie sind nun nicht mehr auf ganz ℝ definiert.
Degenerierte Ellipsen
Ist a > 0 beliebig, so erhalten wir für b = 0 (mit e = a und ε = 1) die stetige Funktion q : ℝ → ℝ2 mit:
q(t) = (a (cos(kep1(ωt)) − 1), 0) für alle t ∈ ℝ, wobei ω =
Die Funktion q hat die Periode T = 2π/ω und ist genau an den ganzzahligen Vielfachen von T nicht differenzierbar. In jedem differenzierbaren Intervall ist sie eine Lösung von (#). Für jedes maximale Intervall I der Länge T gilt q[ I ] = ] −2a, 0 [.
Die Lösungen liegen als Grenzwerte der nicht degenerierten Konstruktion auf der negativen x-Achse. Die folgenden Diagramme zeigen die Beträge der Funktionen. Sie entsprechen so den Radien einer Lösung im dreidimensionalen Raum auf einem durch einen normierten Vektor v0 ∈ ℝ3 definierten Halbstrahl.
Die Funktionen qa : ℝ → ℝ mit
qa(t) = a (1 − cos(kep1(ωa t))) für alle t ∈ ℝ
für die Parameter a = 1/2, 3/4, 1 und ωa = . Der Wertebereich der Funktionen ist das Intervall [ 0, 2a ].
Analog für a = 1, 2, 4
Degenerierte Hyperbeln
Ist a > 0 beliebig, so erhalten wir für b = 0 (wieder mit e = a und ε = 1) die Funktion q : ℝ → ℝ2 mit:
q(t) = (a (1 − cosh(hyp1(ωt)), 0) für alle t ∈ ℝ, wobei ω =
Die Funktion q ist außerhalb des Nullpunkt differenzierbar und in jedem differenzierbaren Intervall eine Lösung von (#). Es gilt q[ I ] = ]−∞, 0 [ für die maximalen Lösungsintervalle I = ]−∞, 0 [ und I = ] 0, ∞ [.
Die Funktionen qa : ℝ → ℝ mit
qa(t) = a (cosh(hyp1(ωa t)) − 1) für alle t ∈ ℝ
für die Parameter a = 1/4, 1/2, 1, 2, 4 und ωa =
Wie oben, aber für einen anderen Ausschnitt, der einige Kreuzungen zeigt
„Degenerierte Parabeln“ hatten wir schon behandelt. Wir können sie auch mit Hilfe inverser Funktionen erhalten. Im Gegensatz zu den Ellipsen und Hyperbeln sind Anpassungen nötig, da es keinen zweiten Parameter b gibt.
Degenerierte Parabeln
Sei a > 0. Wir betrachten eine Funktion q : ℝ → ℝ2 der Form
q(t) = 1/(4a) (− g(ωt)2, 0) für alle t ∈ ℝ
Mit a′ = 1/(4a) gilt ∥ q(t) ∥ = a′ g(ωt)2. Wie früher ist q auf einem Intervall I genau dann eine Lösung von (#), wenn mit τ = ω′/ω und g = f −1 gilt:
2 ∥ q(t) ∥3τ2 f ′(g(ωt))3 (f ″(g(ωt)) g(ωt) − f ′(g(ωt))) = g(ωt)2 für alle t ∈ I
Wir setzen:
A) | ω = ω′/ = 4 , sodass τ2 = 2 a′3 |
B) | f (α) = 1/3 α3 für alle α ∈ ℝ, sodass f ′(g(ωt)) = g(ωt)2, f ″(g(ωt)) = 2 g(ωt) |
Dann ist die Funktion q : ℝ → ℝ2 mit
q(t) = 1/(4a) (− g(ωt)2, 0), g(ωt) = f −1(ωt) = 3 für alle t ∈ ℝ
auf jedem Intervall I mit 0 ∉ I eine Lösung von (#) (im Nullpunkt ist g nicht differenzierbar). Maximale Intervalle sind I = ] −∞, 0 [ und I = ] 0, ∞ [. Für alle t gilt (in Übereinstimmung mit der früheren Lösung):
a′ g(ωt)2 = a′ (3ωt)2/3 = a′ (9 ω2)1/3 t2/3 = c t2/3 mit c = 3
Die Funktionen qa : ℝ → ℝ mit
qa(t) = 1/(4a) (3ωt)2/3 für alle t ∈ ℝ
für die Parameter a = 1/4, 1/2, 1, 2, 4 und ω = 4 (mit k = m = 1)
Zusammenfassung
Sei a > 0 und sei w0 ∈ ℝ3 normiert. Dann erhalten wir Lösungen von (#) mit Drehimpuls Null durch die Funktionen q : ℝ → ℝ3 der Form
q(t) = a (1 − cos(kep1(ωa t)) w0(degenerierte Ellipse)
q(t) = 1/(4a) (3ωat)2/3 w0 (degenerierte Parabel)
q(t) = a (cosh(hyp1(ωa t) − 1) w0 (degenerierte Hyperbel)
Dabei ist ωa = für Ellipsen und Hyperbeln und ωa = 4 für Parabeln. Um eine Lösung von (#) zu erhalten, ist q auf ein differenzierbares Intervall einzuschränken. Durch Translationen t − s für einen Shift-Parameter s erhalten wir Lösungen mit anderen Startorten q(0). Dadurch sind alle Lösungen mit Drehimpuls Null beschrieben.
Lösungen für alle Zeiten
Wir können die degenerierten Lösungen erneut zusammensetzen, um eine verallgemeinerte Lösungsfunktion für alle Zeiten zu erhalten. Dabei ist die Funktion an isolierten Stellen nicht mehr differenzierbar und die Eindeutigkeit der Lösung geht an diesen Stellen verloren. Eine konstante Gesamtenergie erhalten wir, indem wir Lösungen eines bestimmten Typs verwenden. Für degenerierte Ellipsen des Parameters a erhalten wir beispielsweise für beliebige normierte Vektoren vn, n ∈ ℤ, des ℝ3 eine Lösung q : ℝ → ℝ, die auf jedem Intervall ] n, n + T [ , T = 2π/ω, auf dem durch vn definierten Halbstrahl die Strecke { λ vn | λ ∈ [ 0, 2a ] } abläuft (von 0 nach 2avn und wieder zurück).