Die Kepler-Parametrisierung einer Ellipse
Sei wie oben q : ℝ → ℝ2 eine Lösung von (#) mit
q(t) = (a cos kepε(ωt) − e, b sin kepε(ωt)) für alle t ∈ ℝ
Zum Vergleich mit den früheren Parametrisierungen zentrieren wir die Bahn-Ellipse EF1a, b um (e, 0), sodass wir die vertraute achsenparallele Ellipse Ea, b erhalten. Die Lösung q wird durch diese Translation zu q+ mit
q+(t) = q(t) + (e, 0) = (a cos(kepε(ωt)), b sin(kepε(ωt)) für alle t ∈ ℝ
Die Kepler-Funktion können wir nun als eine Modifikation der Winkelgeschwindigkeit der Standardparametrisierung g1 mit
g1(t) = (a cos(ωt), b sin(ωt)) für alle t ∈ [ 0, T ] (mit der Periode T = 2π/ω)
der Ellipse Ea, b ansehen. Die Funktion kepε beschleunigt die Geschwindigkeit zu Beginn und zum Ende jeder Periode und verlangsamt sie in der Mitte. Die Standardparametrisierung entspricht einer gleichmäßigen Winkelgeschwindigkeit bzgl. des die Ellipse Ea, b umschließenden Kreises Ka.
Definition (Kepler-Parametrisierung)
Sei Ea, b eine achsenparallele Ellipse mit a ≥ b und numerischer Exzentrizität ε. Weiter seien ω > 0 und T = 2π/ω. Dann ist die Kepler-Parametrisierung von Ea, b mit der Periode T die Kurve gkep : [ 0, T ] → Ea, b mit
gkep(t) = (a cos(kepε(ωt)), b sin(kepε(ωt)) für alle t ∈ [ 0, T ]
Für elliptische Lösungen von (#) ergab sich
ω =
Als mathematische Parametrisierung von Ea, b kann ω frei gewählt werden (die Ellipse wird in einer von ω abhängigen Geschwindigkeit in der Zeit T = 2π/ω durchlaufen). Wie bei der Standardparametrisierung von Ea, b wählen wir bevorzugt ω = 1, sodass T = 2 π.
Visualisierung der Kepler-Parametrisierungen für die Ellipsen Ea, b mit a = 2 und
b = 1/9, 1/3, 2/3, 1, 4/3, 5/3, 2 (von innen nach außen)
Die gerundeten Exzentrizitäten sind 0,998; 0,986; 0,943; 0,866; 0,745; 0.552.
Die Punkte entsprechen erneut zwölf gleichlangen Zeitintervallen bzgl. einer vollen Periode. Das Diagramm ist unabhängig von der Wahl von ω.
Die Kepler-Parametrisierung entspricht den elliptischen Bahnkurven in einem Gravitationsfeld, wobei die Ellipsen nun zentriert sind und sich ihre Fokuspunkte mit zunehmender Exzentrizität auf der x-Achse vom Nullpunkt entfernen.