Hyperbel-Parametrisierung nach der Fläche (Methode 2)
Auch die zweite Methode lässt sich auf Hyperbeln anwenden, wobei aufgrund des Wegfalls der Periodizität der Lösungen Anpassungen nötig sind. Wir starten mit der Standardparametrisierung
f (t) = (− a cosh t + e, b sinh t) für alle t ∈ ℝ
des linken Astes einer Hyperbel H = HF2a, b mit a, b > 0 und e = = a ε. Für alle t ∈ ℝ gilt:
f ′(t) = (− a sinh t, b cosh t) für alle t ∈ ℝ
| det(f (t), f ′(t)) | = − a b cosh2 t + e b cosh t + ab sinh2 t |
| = a b (ε cosh t − 1) > 0 |
Damit erhalten wir mit den Bezeichnungen wie für Ellipsen:
ψ(t) = a b 2∫t0 cosh s − 1 ds = a b2 (ε sinh t − t)
φ(t) = ψ−1(t) = hypε(2ta b)
Die Kurve g = f ∘ φ ist eine Parametrisierung von H nach der überstrichenen Fläche (Flächengeschwindigkeit 1). Nach dem allgemeinen zweiten Keplerschen Gesetz in Zentralfeldern hat eine Lösung q : ℝ → ℝ die Flächengeschwindigkeit
L0/(2m) mit dem konstanten Drehimpulsbetrag L0. Um also die L0/(2m)-fache Flächengeschwindigkeit zu erreichen, setzen wir
ω = L02m 2a b = 1a b = ω′ a−3/2 mit ω′ =
Dabei haben wir die (für Ellipsen und Hyperbeln gleichermaßen gültige) Formel
L0 = b
aus dem letzten Kapitel verwendet. Mit diesem ω erhalten wir die Lösung
q(t) = (− a cosh(hypε(ωt)) + e, b sinh(hypε(ωt)))
mit der korrekten Flächengeschwindigkeit L0/(2m), in Übereinstimmung mit der ersten Methode.
Bemerkung
Die Verwendung der Formel für L0 lässt sich auch für Ellipsen zur Gewinnung von ω = ω′ a−3/2 durchführen. Das dritte Keplersche Gesetz für elliptische Bahnen hatten wir aus dieser Formel hergeleitet, sodass sie als auch für Hyperbeln gültige Verstärkung des Gesetzes gelten kann.