Betrag und Vorzeichen

Für jede reelle Zahl x sind der Betrag |x| und das Vorzeichen oder Signum sgn(x) von x definiert durch

|x| = x,  falls x ≥ 0,  |x| = −x,  falls x < 0

sgn(x)  =  1,  falls x > 0,  sgn(x) = −1,  falls x < 0,  sgn(x)  =  0,  falls x = 0

Für x ≠ 0 gilt sgn(x) = x/|x|. Manchmal ist auch die zweiwertige Vorzeichenfunktion sgn⁺ nützlich, die durch

sgn⁺(x)  =  1,  falls x ≥ 0,  sgn(x) = −1,  falls x < 0

definiert ist. Für alle x  ∈  ℝ gilt

x  =  sgn(x) |x|  =  sgn⁺(x) |x|

Sind x, a reell und gilt x² = a, so gilt

$\sqrt{{\mathrm{x}}^2}$  =  $\sqrt{\mathrm{a}}$  =  |x|

Dagegen hat die Gleichung

x²  =  a

in der reellen Variablen x die Lösungen x_1,2  =  ±$\sqrt{\mathrm{a}}$.