Norm und Skalarprodukt

 Für alle v = (x, y)  ∈  ℝ2 ist ∥v∥  =  x2+y2 die Euklidische Norm oder Länge des Vektors v. Ein Vektor v heißt normiert, falls seine Norm gleich 1 ist. Für alle v setzen wir:

v̂  =  ∥v∥−1 v,  falls v ≠ 0,  und v̂ = 0,  sonst  [ gelesen: v-Hut oder v-Dach ]

Für alle v ≠ 0 gilt ∥ v̂ ∥ = 1, sodass v̂ auf dem Einheitskreis K = { v | ∥v∥ = 1 } liegt.

 Für alle v = (x1, y1), w = (x2, y2)  ∈  ℝ2 ist das Euklidische Skalarprodukt der Vektoren v und w definiert durch 〈 v, w 〉 = x1 x2 + y1 y2. Wichtige Eigenschaften sind:

Satz (Eigenschaften der Norm und des Skalarprodukts)

Für alle v, w  ∈  ℝ2 und alle λ  ∈  ℝ gilt:

(a)

∥v∥2  =  〈 v, v 〉  ≥  0

(b)

∥ λ v ∥  =  λ ∥v∥

(c)

∥ v + w ∥  ≤  ∥w∥ + ∥w∥(Dreiecksungleichung)

(d)

|〈 v, w 〉|  ≤  ∥v∥ ∥w∥ (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)

(e)

∥ v ± w ∥2  =  〈 v, v 〉  ±  2 〈 v, w 〉  +  〈 w, w 〉

(f)

∥ v + w ∥2  +  ∥ v − w ∥2  =  2 (∥v∥2 + ∥w∥2)(Parallelogrammgleichung)

(g)

∥ v + w ∥2 − ∥ v − w ∥2  =  4 〈 v, w 〉(Polarisation)