Orthogonale Matrizen

 In den Spalten einer Matrix A = (v; w) stehen die Bilder v = Ae1 und w = Ae2 der kanonischen Einheitsvektoren e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1) unter der Abbildung A. Ist A invertierbar, so können wir diese Spaltenvektoren als Koordinatenrichtungen eines durch A eingeführten neuen Koordinatensystems lesen: A verformt das durch e1 und e2 definierte kartesische Gitter zu dem durch v und w definierten Gitter. Bei dieser Interpretation ist der Erhalt der Orthogonalität und Normierung eine besonders wichtige Eigenschaft:

Definition (orthogonal)

Eine Matrix A heißt orthogonal, wenn die Spaltenvektoren von A orthogonal und normiert sind.

Bemerkung

Suggestiver wäre die Bezeichnung „orthonormal“ (die dem Begriff einer Orthonormalbasis entspricht). Dies ist jedoch unüblich.

 Jede Rotationsmatrix und jede Spiegelungsmatrix ist orthogonal. Damit sind bereits alle orthogonalen Matrizen beschrieben, denn ist A orthogonal, so können wir den ersten Spaltenvektor v von A in der Form v = (cos φ, sin φ) schreiben. Da der zweite Spaltenvektor w von A senkrecht auf v steht und ebenfalls normiert ist, gilt

w  =  v+  =  (−sin φ, cos φ)  oder  w  =  v−  =  (sin φ, −cos φ)

Im ersten Fall ist A = rotφ, im zweiten A = mirφ. Dies zeigt:

Satz (Identifizierung der orthogonalen Matrizen)

Sei A orthogonal. Dann gibt es ein φ mit A = rotφ oder A = mirφ. Die Determinante von A entscheidet über den Typ.

 Der folgende Satz lässt sich aus der Definition der Orthogonalität gewinnen, und er gilt deswegen auch für höhere Dimensionen. Mit der Charakterisierung der orthogonalen Matrizen der Ebene als Rotationen bzw. Spiegelungen lässt er sich leicht einsehen, sodass wir hier auf einen Beweis verzichten.

Satz (Charakterisierungen der Orthogonalität)

Für jede Matrix A sind äquivalent:

(a)

Die Zeilenvektoren von A sind orthogonal und normiert.

(b)

Die Spaltenvektoren von A sind orthogonal und normiert.

(c)

A−1 = At, d. h., A und At sind invers zueinander.

(d)

Für alle v  ∈  ℝ2 gilt ∥ A v ∥ = ∥v∥.(Erhalt der Norm)

(e)

Für alle normierten v  ∈  ℝ2 gilt ∥ A v ∥ = 1.(Erhalt der Normierung)

(f)

Für alle v, w  ∈  ℝ2 gilt 〈 Av, Aw 〉 = 〈 v, w 〉.(Erhalt des Skalarprodukts)