Winkeltreue Matrizen

 Orthogonale Matrizen sind durch den Erhalt der Norm und des Skalarprodukts charakterisiert. Eine natürliche Abschwächung ist der Erhalt der Winkel zwischen Vektoren:

Definition (winkeltreue Matrizen)

Eine invertierbare Matrix A heißt winkeltreu, wenn gilt:

∡(v, w)  =  ∡(Av, Aw)  für alle v, w ≠ 0

Leicht zu sehen ist, dass die abgeschwächte Bedingung

∡(v, w)  =  ∡(Av, Aw)  für alle normierten v, w

bereits die Winkeltreue impliziert. Wie für die orthogonalen Matrizen ergeben sich zahlreiche Äquivalenzen (die wieder für alle Dimensionen gültig sind):

Satz (Charakterisierungen der Winkeltreue)

Für alle A ≠ 0 sind äquivalent:

(a)

A ist winkeltreu.

(b)

A erhält Orthogonalität, d. h., für alle v, w  ∈  ℝ2 gilt

〈 v, w 〉  =  0  impliziert  〈 Av, Aw 〉  =  0

(c)

A hat gleichlange orthogonale Spalten.

(d)

A hat gleichlange orthogonale Zeilen.

(e)

A ist ein skalares Vielfaches einer orthogonalen Matrix.

(f)

Es gibt ein λ, sodass für alle v  ∈  ℝ2 gilt ∥ A v ∥ = λ ∥v∥.

Beweis

(a) impliziert (b):

ist klar.

(b) impliziert (c):

Da e1 und e2 orthogonal sind, sind die Spalten Ae1 und Ae2 von A orthogonal. Weiter sind v = e1 + e2 und w = e1 − e2 orthogonal. Damit ist

0  =  〈 Av, Aw 〉  =  〈 Ae1 + Ae2, Ae1 − Ae2 〉  =  ∥ Ae1 ∥2  −  ∥ Ae2 ∥2,

sodass die Spalten von A gleichlang sind.

Äquivalenz von (c), (d), (e), (f):

Ergibt sich aus den Charakterisierungen orthogonaler Matrizen.

(e) impliziert (a):

Ergibt sich aus der Formel zur Winkelberechnung und dem Erhalt der Norm und des Skalarprodukt orthogonaler Matrizen.

 Damit lassen sich die winkeltreuen Matrizen der Ebene übersichtlich beschreiben:

Korollar (Beschreibung der winkeltreuen Matrizen)

Genau die Matrizen der Form

A  =  a−bba und  A  =  abb−a mit  a ≠ 0 oder b ≠ 0

sind winkeltreu. Das Vorzeichen der Determinante von A entscheidet über den Typ. Weiter ist A genau dann orthogonal, wenn a2 + b2 = 1.

Beweis

Matrizen der beiden Formen sind von der Nullmatrix verschieden und sie haben gleichlange orthogonale Zeilen und Spalten, sodass sie winkeltreu sind. Ist umgekehrt A winkeltreu, so gibt es ein λ ≠ 0 und ein φ  ∈  ℝ mit A = λ rotφ oder A = λ mirφ. Im ersten Fall hat A die erste Form, im zweiten die zweite.