5. Krümmungskreise

Wir leiten die im Kapitel über „Krümmung“ heuristisch entwickelten Krümmungsformeln her.

 Sei f : [ a, b ] → ℝ2 eine zweimal stetig differenzierbare Kurve. Wir betrachten ein t0  ∈  [ a, b ] mit f ′(t0) ≠ 0 und f ″(t0) ≠ 0. Ziel ist, einen Kreis K = Kr, M mit einem Radius r = r(t) und einem Mittelpunkt M = M(t) zu definieren, der sich im Punkt f (t0) an die Spur von f möglichst gut anschmiegt. Hierzu betrachten wir (klein gedachte) δ1, δ2 ≠ 0 mit δ1 ≠ δ2 derart, dass

t1  =  t0  +  δ1  ∈  [ a, b ],  t2  =  t0  +  δ2  ∈  [ a, b ]

Typisch ist δ1 = δ und δ2 = − δ für ein kleines δ > 0. Unsere Wahl von δ1, δ2 ist freier und funktioniert auch am Rand, d. h. im Fall t0 = a oder t0 = b.

 Wir sehen den Kreis K(δ1, δ2) durch die drei Punkte f (t0), f (t1), f (t2) als Approximation an den gesuchten Kreis an, die umso genauer ist, je kleiner δ1 und δ2 im Betrag sind. Lassen wir δ1 und δ2 gegen Null streben, so konvergieren, wie wir sehen werden, die Mittelpunkte und Radien der Approximationskreise. Dadurch können wir den gesuchten Kreis als Grenzwert definieren.

 Unser Satz für einen Kreises durch drei Punkte aus dem Kapitel „Kreise“ in Abschnitt 1 liefert für den Radius von K(δ1, δ2) die Formel:

r(δ1, δ2)  =  ∥ f (t0 + δ1) − f (t0) ∥ ∥ f (t0 + δ2) − f (t0) ∥ ∥ f (t0 + δ1) − f (t0 + δ2) ∥2 |det(f (t0 + δ1) − f (t0), f (t0 + δ2) − f (t0))|

Ersetzen wir f an der Stelle t0 durch ihre Tangente g mit

g(t)  =  f (t0)  +  f ′(t) (t − t0)  für alle t  ∈  ℝ,

so berechnet sich der Zähler von r(δ1, δ2) mit c = ∥ f ′(t0) ∥ zu

δ1 ∥ c δ2 c |δ1 − δ2| c  =  δ1 δ2 |δ1 − δ2| c3

Im Nenner von r(δ1, δ2) ist die Approximation erster Ordnung dagegen nicht genau genug, da sie den Wert „0“ liefert. Wir ersetzen also die Kurve f im Nenner an der Stelle t0 durch ihre Schmiegeparabel

h(t)  =  f (t0)  +  f ′(t0)(t − t0)  +  f ″(t0) (t − t0)2  für alle t  ∈  ℝ

Dann gilt nach den Eigenschaften der Determinante:

2 det(f (t0 + δ1) − f (t0), f (t0 + δ2) − f (t0))

 =  2 det(δ1 f ′(t0) + δ12/2 f ″(t0), δ2 f ′(t0) + δ22/2 f ″(t0))

 =  2 det(δ1 f ′(t0), δ22/2 f ″(t0))  +  2 det(δ12/2 f ″(t0), δ2 f ′(t0))

 =  δ1 δ22 det(f ′(t0), f ″(t0))  +  δ12 δ2 det(f ″(t0), f ′(t0) )

 =  δ1 δ2 ( δ2 det(f ′(t0), f ″(t0))  −  δ1 det(f ′(t0), f ″(t0)))

 =  δ1 δ2 (δ2 − δ1) det(f ′(t0), f ″(t0))

Insgesamt erhalten wir:

r  =  limδ1, δ2 → 0 r(δ1, δ2)  =  ∥ f ′(t0)∥3|det(f ′(t0), f ″(t0))|

Das Vorzeichen der Determinante im Nenner gibt an, ob der Mittelpunkt M des gesuchten Kreises in der linken oder rechten Halbebene bzgl. des Punktes f (t0) und der Richtung f ′(t0) liegt. Den Mittelpunkt erhalten wir, indem wir den normierten Tangentialvektor f ′(t0) um π/2 gegen den Uhrzeigersinnn drehen und mit ± r multiplizieren, wobei das Vorzeichen dem der Determinante entspricht. Dieser Vektor zeigt von f (t0) zum Mittelpunkt des Kreises. Mit c = ∥ f ′(t0) ∥ und

k  =  det(f ′(t0), f ″(t0))c3((signierte) Krümmung)

ist der Krümmungskreis Kr, M also gegeben durch

r =  κ  =  1|k|(Krümmungsradius)
M =  f (t0)  +  sgn(k) r rotπ/2(f ′(t0)c)
=  f (t0)  +  c2det(f ′(t), f ″(t0)) rotπ/2(f ′(t0))(Krümmungskreismittelpunkt)