9. Die wichtigsten Formeln

Ganz am Ende des Buches stellen wir in der Tradition bedruckter Vorsatzblätter eines gebundenen Buches einige besonders wichtige Formeln zusammen. Für Matrizen ist dabei immer A = ((a, b), (c, d)) = ((a, c); (b, d)) mit Zeilen bzw. Spaltenvektoren.

(cos(2φ), sin(2φ))  =  (cos2 φ − sin2 φ, 2 cos φ sin φ)(Verdopplungsformeln)

∥ v ∥2  =  〈 v, v 〉(Normquadrat als Skalarprodukt)

rotπ/2(x, y)  =  (−y, x)(Rotation um π/2 gegen den Uhrzeigersinn)

cos φ  =  〈 v̂, ŵ 〉,  sin φ  =  |det(v̂, ŵ)|  für φ = ∡(v, w) (Winkelformeln)

〈 v, w 〉  =  0  genau dann, wenn  rotπ/2(v), w kollinear

∥v∥2 ∥w∥2  −  〈 v, w 〉2  =  det(v, w)2(Lagrange-Identität)

|〈 v, w 〉|  ≤  ∥v∥ ∥ w ∥,  Gleichheit genau bei Kollinearität(Cauchy-Schwarz)

A e1  =  (a, c),  A e2  =  (b, d)(Spaltenextraktion)

A−1  =  det(A)−1 ((d, −c); (−b, a)) (Invertierungsformel)

〈 v, A w 〉  =  〈 At v, w 〉(Transpositionsregel)

〈 v, A w 〉  =  a x1 x2  +  b x1 y2  +  c x2 y1  +  d y1 y2  für v = (x1, y1), w = (x2, y2)

〈 v, Av 〉  =  a x2  +  (b + c) x y  +  d y2  für v = (x, y)

qA =  ((a2 + b2 − c2 − d2)/2, ac + bd)
=  ((〈 v, v 〉 − 〈 w, w 〉)/2, 〈 v, w 〉)(q-Vektor von A)
rA =  (a2 + b2 + c2 + d2)/2  =  (〈 v, v 〉 + 〈 w, w 〉)/2  für A = (v, w)

rA2  −  ∥ qA ∥2  =  det(A)2

rA  =  rAt,  det(A)  =  det(At)

∥ qA ∥  =  ∥ qAt ∥

Mit p = q(At), q = q(A) gilt für alle v  ∈  ℝ2:

∥ Av ∥2 =  (a2 + c2)x2  +  2(ab + cd)xy  +  (b2 + d2)y2
=  r ∥v∥2  +  p1 (x2 − y2)  +  2p2x y
∥ A−1v ∥2 =  det(A)−2 ((c2 + d2)x2  −  2(ac + bd)xy  +  (a2 + b2)y2)
=  det(A)−2 (r ∥v∥2  −  q1(x2 − y2)  −  2q2 x y) (Normformeln)

Für v(φ) = (cos φ, sin φ)  ∈  K1 gilt:

∥ Av(φ) ∥2  =  r  +  〈 p, v(2φ) 〉

det(A)2 ∥ A−1v(φ) ∥2  =  r  −  〈 q, v(2φ) 〉(Normformel auf dem Einheitskreis)