Vektoren der Ebene

Wir stellen in diesem und im folgenden Einleitungskapitel häufig verwendete Grundbegriffe und Notationen über Vektoren und Matrizen der reellen Ebene in kompakter Form zusammen. Ausführlicher findet der Leser diese Grundlagen im Anhang oder in den einführenden Lehrbüchern zur Linearen Algebra.

Vektoren der reellen Ebene

Vektoren der reellen Ebene ℝ² = ℝ × ℝ = e (x, y) | x, y  ∈  ℝ } notieren wir in der Form v = (x, y) oder als Spaltenvektoren

v  =  $( \begin{array}{c}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\end{array} )$

Gleichwertig sprechen wir auch von Punkten der Ebene. Wir setzen

0 = (0, 0)(Nullvektor)

e₁ = (1, 0),  e₂ = (0, 1)(kanonische Basisvektoren)

Norm und Skalarprodukt

Die (euklidische) Norm oder Länge eines Vektors v = (x, y) ist definiert durch

∥v∥  =  $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$

Gilt ∥v∥ = 1, so heißt v normiert. Die Menge K₁ = { v | ∥ v ∥ = 1 } heißt der Einheitskreis. Ist v ≠ 0, so setzen wir

v̂  =  ∥v∥⁻¹ v(Normierung, v-Dach, v-Hut)

Dann ist v̂ normiert. Für v = 0 sei v̂ = 0.

Für Vektoren v = (x₁, y₂), w = (x₂, y₂) setzen wir

〈 v, w 〉  =  x₁ x₂  +  y₁ y₂(euklidisches Skalarprodukt)

Es gilt ∥v∥² = 〈 v, v 〉 = x² + y² für alle v = (x, y).

Orthogonalität

Zwei Vektoren v, w sind orthogonal, wenn 〈 v, w 〉 = 0. Wir sagen auch, dass sie aufeinander senkrecht stehen. Für v = (x, y) definieren wir die Rotation oder Drehung von v gegen bzw. im Uhrzeigersinn um π/2 durch

rot_π/2(v)  =  (−y, x)

rot_−π/2(v)  =  (y, −x)

Beide Vektoren stehen senkrecht auf v. Es gilt rot_−π/2(v) = − rot_π/2(v).

Zwei Vektoren v, w sind kollinear, wenn es ein λ gibt mit λ v = w oder w = λ v. Dies ist genau dann der Fall, wenn v und w auf einer gemeinsamen Geraden

G(u)  =  { λ u | λ  ∈  ℝ },  u ≠ 0

durch den Nullpunkt liegen. Weiter sind v, w genau dann kollinear, wenn v und rot_−π/2(w) orthogonal sind. Ist v = (a, b) und w = (c, d), so gilt dies genau dann, wenn

〈 (a, b), (d, − c) 〉  =  a d − b c  =  0(Charakterisierung der Kollinearität)

Wir definieren die Determinante von (v, w) durch

det(v, w)  =  a d  −  b c

Die Determinante ist genau dann gleich 0, wenn (v, w) kollinear sind. Es gilt

det(v, w)  =  〈 rot_π/2(v), w 〉  =  〈 v, rot_−π/2(w) 〉

Dieser Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Determinante ist an zahlreichen Stellen nützlich. Eine geometrische Interpretation erhalten wir durch die Betrachtung von Winkeln:

Eingeschlossene Winkel

Mit Hilfe des Skalarprodukts können wir nicht nur die Orthogonalität überprüfen, sondern allgemeiner Winkel berechnen. Es gilt

cos φ  =  〈 v̂, ŵ 〉  =  ^{〈 v, w 〉}_{∥v∥ ∥w∥}(Winkelformel)

für den von zwei Vektoren v, w ≠ 0 eingeschlossenen Winkel

φ  =  ∡(v, w)  ∈  [ 0, π ]

Dieser Winkelbegriff ist symmetrisch, d. h es gilt ∡(v, w) = ∡(w, v).

Wir nennen (v, w) positiv orientiert, wenn ∡(rot_π/2(v), w)  ∈  [ 0, π/2 [. Analog heißt (v, w) negativ orientiert, wenn ∡(rot_−π/2(v), w)  ∈  [ 0, π72 [. Anschaulich bedeutet dies, dass w in der linken bzw. rechten durch v definierten Halbebene liegt. Ist (v, w) positiv orientiert, so gilt

∥ v ∥ ∥ w ∥ sin(φ)  =  ∥ v ∥ ∥ w ∥ cos (π/2 − φ)  =  〈 rot_π/2(v), w 〉  =  det(v, w)  >  0

Die linke Seite ist gemäß „Grundseite mal Höhe“ der Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms. Ist (v, w) negativ orientiert, so ist (w, v) positiv orientiert, sodass nach dem bereits Gezeigten gilt:

∥ w ∥ ∥ v ∥ sin(φ)  =  det(w, v)  =  − det(v, w)  >  0

Damit ist |det(v, w)| der Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms (das degeneriert ist, falls v, w kollinear sind). Das Vorzeichen der Determinante entspricht der Orientierung der beiden Vektoren.

Orthogonale Projektion und Lot

Für u, v  ∈  ℝ² definieren wir die orthogonale Projektion pr_u(v) und das Lot lot_u(v) von v auf u durch

pr_u(v)  =  〈 û, v 〉 û  (mit v̂ = 0 für v = 0)

lot_u(v)  =  v  −  pr_u(v)

Es gilt:

pr_u(v)  =  pr_û(v),  lot_u(v)  =  lot_û(v)

pr_u(v)  =  pr_−u(v),  lot_u(v)  =  lot_−u(v)

Im Fall u ≠ 0 können wir also u immer als normiert ansehen. Für von 0 verschiedene Vektoren u, v und φ = ∡(u, v) gilt nach der Winkelformel

pr_u(v)  =  ∥ v ∥ cos(φ) û,  ∥ pr_u(v) ∥  =  |〈 û, v 〉|  =  ∥ v ∥ |cos φ |

Das Dreieck mit den Ecken 0, pr_u(v), v hat einen rechten Winkel bei pr_u(v). Geometrisch entsteht dieses Dreieck durch das Fällen des Lots von v auf die von u erzeugte Gerade.

Das Lot auf u können wir als Projektion auf den rotierten Vektor

u_⊥  =  rot_π/2(u)  =  (−u₂, u₁)

ansehen. Dies wird durch die obige Abbildung anschaulich, lässt sich aber auch leicht nachrechnen (wobei ∥ u ∥ = 1 die Rechnung vereinfacht). Für alle u, v gilt:

lot_u(v)  =  pr_rotπ/2(u)(v)  =  〈 û_⊥, v 〉 û_⊥  =  det(û, v) û_⊥

|lot_u(v)|  =  |det(û, v)|

Wir diskutieren die Projektion und das Lot ausführlicher im Kapitel über Leitlinien.

Argument

Der Einheitskreis der Ebene ℝ² ist definiert durch

K  =  K₁  =  { v  ∈  ℝ² | ∥v∥ = 1 }  =  { (cos φ, sin φ) | φ  ∈  [ 0, 2π [ }

Ist v ≠ 0, so gilt v̂  ∈  K. Jedes φ  ∈  ℝ mit v̂ = (cos φ, sin φ) heißt ein Argument von v. Ein Argument ist modulo 2π eindeutig bestimmt und jedes halboffene Intervall der Länge 2π ist zur Angabe geeignet. Neben [ 0, 2π [ bietet sich das um 0 symmetrische Intervall ] −π, π ] an. Wir verwenden, wenn nichts anderes gesagt wird, dieses Intervall:

Das Argument arg(v) eines Vektors v ≠ 0 ist der im Intervall ] −π, π ] gemessene orientierte Winkel, den v mit der positiven x-Achse einschließt. Im Gegensatz zum Winkel ∡(v, e₁)  ∈  [ 0, π ] sind negative Winkel möglich. Das Argument von v lässt sich mit Hilfe des Arkustangens berechnen, wobei quadrantenabhängige Korrekturwinkel nötig sind, da der Arkustangens nur Werte im offenen Intervall ] −π/2, π/2 [ annimmt. Die Korrekturwinkel können wir aus x und y gewinnen, was die Motivation einer zweistelligen Version des Arkustangens liefert. Wir diskutieren einige Möglichkeiten der Berechnung. Dabei liegen wie vereinbart alle Argumente im Winkelintervall ] −π, π ]. Der Nullvektor hat kein Argument.

Nützlich (etwa bei Ableitungen im Zweidimensionalen) ist auch folgende Variante mit sich überlappenden Fällen:

Im Abschnitt „Verdopplungsformeln und Winkelhalbierung“ wird sich weiter folgende Version ergeben, die eine Fallunterscheidung innerhalb der gesammten geschlitzten Ebene

(ℝ²)⁻  =  ℝ² − { (x, 0) | x ≤ 0 }

vermeidet:

Argument und eingeschlossener Winkel

Das Argument eines Vektors wird in einem Winkelintervall der Länge 2π angegeben, während zwei Vektoren stets einen Winkel in [ 0, π ] einschließen. Die Kosinus-Funktion ist geeignet, die Unterschiede zu glätten. Seien hierzu

v  =  (r, φ)_polar,  w  =  (s, ψ)_polar

Dann gilt unter Verwendung des Additionstheorems für den Kosinus:

Speziell gilt

cos(∡(v, w))  =  cos(arg(v) − arg(w))  für alle v, w  ∈  ℝ² mit v, w ≠ 0,

unabhängig davon, in welchem Winkelintervall das Argument gewählt wird.

Translationen

Sei w  ∈  ℝ². Dann definieren wir die Translation tr_w : ℝ² → ℝ² um den Vektor w durch tr_w(v) = v + w für alle v  ∈  ℝ². Für alle A ⊆ ℝ² ist dann

tr_w[ A ]  =  { tr_w(v) | v  ∈  A }

die Translation der Menge A um den Vektor v. Anstelle von einer Translation sprechen wir auch von einer Parallelverschiebung.