Verdopplungsformeln und Winkelhalbierung

Die wohl wichtigste trigonometrische Identität ist der Satz des Pythagoras:

cos² φ + sin² φ = 1 für alle φ  ∈  ℝ

Daneben spielen für unsere Untersuchungen die folgenden klassischen trigonometrischen Verdopplungsformeln eine Schlüsselrolle:

Satz (Verdopplungsformeln)

Für alle φ  ∈  ℝ gilt:

(a)	cos² φ − sin² φ = cos(2φ)

(b)	2 cos φ sin φ = sin(2φ)

(c)	cos(2φ) = 2 cos² φ − 1 = 1 − 2 sin² φ

(d)	cos²(φ) = 1/2 (1 + cos(2φ)), sin²(φ) = 1/2 (1 − cos(2φ))

(e)	$\sqrt{2}$ \|cos(φ)\| = $\sqrt{1 + cos (2 φ)}$

(f)	$\sqrt{2}$ \|sin(φ)\| = $\sqrt{1 - cos (2 φ)}$

Am elegantesten werden diese Formeln wohl mit Hilfe der Eulerschen Formel

e^i φ = cos φ + i sin φ für alle φ  ∈  ℝ

und der Potenzregel e^2φ = (e^φ)² bewiesen:

Beweis

Für für alle φ  ∈  ℝ gilt:

cos(2 φ) + i sin(2φ)	= e^2φ = (e^φ)² = (cos φ + i sin φ)²
	= cos² φ − sin² φ + i 2 cos φ sin φ

Der Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt (a) und (b). Die Version (c) erhalten wir, wenn wir in (a) den Satz des Pythagoras anwenden:

cos(2φ) = cos² φ − (1 − cos² φ) = 2 cos² φ − 1

cos(2φ) = 1 − sin² φ − sin² φ = 1 − 2 sin² φ

Die anderen Aussagen folgen durch Umstellung und Wurzelziehen.

Trigonometrische Argumente sind schwerfälliger und oft nur für bestimmte Winkelintervalle gültig, aber sie bleiben dennoch wertvoll. Und an Schönheit stehen sie obigem Beweis in nichts nach. Wir diskutieren zwei Konstruktionen, die die Verdopplungsformeln vor Augen führen.

Orthogonale Projektion und Spiegelung

Gegeben sei ein Vektor v = (cos φ, sin φ) auf dem Einheitskreis K₁. Wir nehmen zunächst an, dass φ  ∈  ] 0, π/2 [ und konstruieren folgende Figur:

Wir fällen das Lot von e₁ auf den Vektor v und erhalten so den Vektor u (die orthogonale Projektion pr_v(e₁) von e₁ auf v). Mit Hilfe von u können wir e₁ an der durch v erzeugten Geraden spiegeln. Wir erhalten so w = e₁ + 2 u₁ mit u₁ = u − e₁.

Es gilt:

u = cos(φ) v = (cos² φ, cos φ sin φ)

u₁ = u − e₁

w	= e₁ + 2 u₁ = 2 u − e₁
	= (2 cos² φ − 1, 2 cos φ sin φ) = (cos² φ − sin² φ, 2 cos φ sin φ)

Der Vektor u ist die orthogonale Projektion von e₁ auf v (Fällen des Lots). Weiter ist w die Spiegelung von e₁ an der durch v definierten Geraden durch den Nullpunkt. Damit gilt

w = (cos(2φ), sin(2φ))

Durch Koordinatenvergleich ergeben sich die Verdopplungsformeln.

Die Konstruktion gilt auch für φ = 0 (mit u = w = e₁) und φ = π/2 (mit u = 0 und w = − e₁). Weiter ist sie auch für stumpfe Winkel gültig, wobei dann cos φ < 0 und der Projektionsvektor u eine zu v entgegengesetzte Richtung besitzt. Für allgemeine Winkel ergeben sich die Formeln aus den Symmetrie- und Periodizitätseigenschaften des Kosinus und Sinus.

Die gleiche Konstruktion mit einem stumpfen Winkel φ. Hier gilt cos φ < 0

Die Parallelogramm-Methode

Unsere zweite Konstruktion verwendet eine Diagonale eines gleichseitigen Parallelogramms zur Winkelhalbierung. Wir nehmen zunächst 2φ  ∈  ] 0, π/2 [ an:

Zwei gleichlange Vektoren v und w spannen ein Parallelogramm auf. Der eingeschlossene Winkel der Vektoren wird durch die Diagonale v + w halbiert.

In wenigen Schritten gelangen wir zu den Verdopplungsformeln:

Wir nehmen zur Vereinfachung ∥v∥ = ∥w∥ = 1 an. Sei λ = ∥ v + w ∥ die Länge der Diagonale v + w des Parallelogramms. Dann gilt:

(I)	λ sin φ = sin (2φ)	(Dreieck 0, v + w, P)
	λ cos φ = 1 + cos(2φ)	(Dreieck 0, v + w, P)
(II)	cos φ = λ/2	(Dreieck 0, v, S)

Einsetzen von λ = 2 cos φ in (I) liefert die Verdopplungsformeln (a) und (b), wobei wir für den Kosinus zusätzlich den Satz des Pythagoras bemühen. Die anderen Formeln ergeben sich wie oben aus (a) und (b).

Für einen Winkel 2φ  ∈  ] π/2, π [ können wir analog argumentieren:

Winkelhalbierung im stumpfwinkligen Fall

Die Aussagen (I) und (II) sind erneut gültig. Für 2φ  ∈  { 0, π } lassen sich die Verdopplungsformeln leicht direkt verifizieren; das von v und w aufgespannte Diagramm ist in diesem Fall degeneriert. Wie bei der ersten Methode erhalten wir also die Verdopplungsformeln für alle Winkel.

Wir halten fest:

Satz (Winkelhalbierung mit Parallelogrammen)

Sei v = (x, y) = (cos(2φ), sin(2φ))  ∈  K₁ mit φ  ∈  ] −π/2, π/2 [. Dann halbiert der Vektor

u = v + (1, 0) = (x + 1, y)

das Argument von v, d. h. es gilt

(cos φ, sin φ) = û, wobei û = ∥ u ∥⁻¹ u

Insbesondere gilt

φ = arctan(y/(x + 1))  ∈  ] −π/2, π/2 [

Die Voraussetzung φ ≠ π/2 ist wesentlich, da sonst v = (−1, 0), u = 0, x + 1 = 0.

Eine nützliche Anwendung ist:

Satz (fallunterscheidungsfreie Berechnung des Arguments)

Sei (x, y)  ∈  (ℝ²)⁻ = ℝ² − { (x, 0) | x ≤ 0 }, und sei

λ = ∥ (x, y) ∥ = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Dann gilt mit Winkeln in ] −π, π [:

arg(x, y) = arctan₂(x, y) = 2 arctan(^y_x + λ)

Beweis

Der Vektor (x + λ, y) halbiert nach der Parallelogramm-Methode das Argument von (x, y) (mit x + λ > 0 wegen (x, y)  ∈  (ℝ²)⁻). Damit ist

arg(x, y) = 2 arg(x + λ, y) = arctan(y/(x + λ))

Damit lassen sich für Vektoren in der geschlitzten Ebene (ℝ²)⁻ die Fallunterscheidungen der zweistelligern Arkustangens-Funktion vermeiden.

Nützlich für Berechnungen und zudem auch für den Sonderfall φ = π/2 geeignet ist die folgende Variante:

Satz (Winkelhalbierungsformel)

Sei v = (x, y)  ∈  ℝ² mit v ≠ 0. Weiter seien λ = ∥ v ∥, arg(v) = 2φ  ∈  ] −π, π ] und

v* = $\frac{1}{\sqrt{2 λ}}$ $( \begin{matrix} \sqrt{λ + x} \\ {sgn}^{+} (y) \sqrt{λ - x} \end{matrix} )$ (Winkelhalbierungsformel)

mit der zweiwertigen Vorzeichenfunktion sgn⁺ (mit sgn⁺(0) = 1).

Dann ist v* normiert und arg(v*) = φ  ∈  ] −π/2, π/2 ]. Im Fall 2φ ≠ π gilt

φ = arctan(sgn⁺(y) $\sqrt{(λ - x) / (λ + x)}$ )

Beweis mit Hilfe von Pararallelogrammen

Wir nehmen zunächst 2φ = π an. Dann gilt v = (x, y) = (− λ, 0), sodass

v* = (0, 1), arg(v*) = π/2 = φ

Es gelte also 2φ ≠ π. Der Vektor u = (x + λ, y) ≠ 0 halbiert arg(v). Mit

∥ u  ∥² = (x + λ)² + y² = x² + 2λ x + λ² + y² = 2λ² + 2λx = 2λ (λ + x)

y = sgn⁺(y) $\sqrt{λ^{2} - x^{2}}$ = sgn⁺(y) $\sqrt{λ + x}$ $\sqrt{λ - x}$

erhalten wir

û = $\frac{1}{\sqrt{2 λ (λ + x)}}$ $( \begin{matrix} λ + x \\ y \end{matrix} )$ = $\frac{1}{\sqrt{2 λ}}$ $( \begin{matrix} \sqrt{λ + x} \\ {sgn}^{+} (y) \sqrt{λ - x} \end{matrix} )$

Damit ist v* = û  ∈  K₁ und arg(v*) = arg(û) = φ. Der Zusatz ist klar.

Beweis mit Hilfe der Verdopplungsformeln

Sei θ = sgn⁺(y). Dann gilt θ = sgn⁺(sin(φ)) (auch für φ = π/2), sodass

|cos φ| = cos φ, |sin φ| = θ sin φ

Mit den Verdopplungsformeln (Version (d) des Satzes) erhalten wir:

$\sqrt{2}$ cos φ = $\sqrt{1 + cos (2 φ)}$ = $\sqrt{1 + x / λ}$ = 1/ $\sqrt{λ}$ $\sqrt{λ + x}$

$\sqrt{2}$ sin φ = θ $\sqrt{1 - cos (2 φ)}$ = θ $\sqrt{1 - x / λ}$ = θ/ $\sqrt{λ}$ $\sqrt{λ - x}$

Folglich gilt

v* = $\frac{1}{\sqrt{2 λ}}$ $( \begin{matrix} \sqrt{λ + x} \\ θ \sqrt{λ - x} \end{matrix} )$ = (cos φ, sin φ),

sodass arg(v*) = φ. Zudem ist v* normiert, da

∥ ( $\sqrt{λ + x}$ , θ $\sqrt{λ - x}$ ) ∥ = $\sqrt{λ + x + λ - x}$ = $\sqrt{2 λ}$

Durch die Verwendung der zweiwertigen Vorzeichenfunktion ist die Winkelhalbierungsformel auch im Sonderfall y = 0 und x < 0 korrekt. Wir erhalten in diesem Fall den normierten Halbierungsvektor e₂ = (0, 1), der mit der Parallelogrammkonstruktion nicht eingefangen wird.

Charakteristisch ist das Auftreten einer doppelten Wurzel in den Koordinaten der Halbierungsformel. Der Länge λ von (x, y) ist die Wurzel aus x² + y². Zu dieser Wurzel wird die erste Koordinate von v addiert bzw. subtrahiert, und anschließend wird noch einmal die Wurzel gezogen. Die zweite Koordinate von v geht als Vorzeichen ein und ist in der Länge λ präsent.

Diagonalen eines gleichseitigen Parallelogramms

Sei v = (x, y) ≠ 0 mit arg(v) ≠ π. Weiter sei λ = ∥ v ∥. Dann gilt für die Längen d₁ und d₂ der Diagonalen des von v und λ e₁ aufgespannten Parallelogramms:

d₁ = ∥ v + λ e₁ ∥ = $\sqrt{2 λ (λ + x)}$

d₂ = ∥ v − λ e₁ ∥ = $\sqrt{2 λ (λ - x)}$

d₁² + d₂² = ∥ v + λ e₁ ∥² + ∥ v − λ e₁ ∥² = 4 λ²

Die dritte Formel ergibt sich auch aus der allgemeinen Parallelogrammgleichung

∥ v + w ∥² + ∥ v − w ∥² = 2 (∥v∥² + ∥w∥²)

für den Fall w = λ e₁. Damit lassen sich die Terme $\sqrt{λ + x}$ und $\sqrt{λ - x}$ der Winkelhalbierungsformel geometrisch interpretieren: Es gilt

∥ (d₁, d₂) ∥ v* = 2 λ v* = (d₁, θ d₂) mit θ = sgn⁺(y)

Das analoge Ergebnis für die Winkelverdopplung ist:

Satz (Winkelverdopplungsformel)

Sei v = (x, y)  ∈  ℝ² mit v ≠ 0. Weiter seien λ = ∥ v ∥, arg(v) = φ und

v* = ¹_λ² $( \begin{matrix} x^{2} - y^{2} \\ 2 x y \end{matrix} )$ = ¹_λ² $( \begin{matrix} 2 x^{2} - λ^{2} \\ sgn (y) 2 x \sqrt{λ^{2} - x^{2}} \end{matrix} )$

Dann ist v* normiert und es gilt arg(v*) = 2φ modulo 2π.

Beweis

Es gilt

(cos φ, sin φ) = 1/λ (x, y)

Die Behauptung ergibt sich nun aus den Verdopplungsformeln, da

(cos(2φ), sin(2φ)) = (cos² φ − sin² φ, 2 cos φ sin φ) = 1/λ² (x² − y², 2 x y)

Ausblick

Bei der Untersuchung einer Matrix-Ellipse wie in den obigen Bildern werden wir einen wichtigen Vektor (den „q-Vektor“) finden, der mit der x-Achse einen Winkel φ  ∈  ] −π, π ] einschließt. Die Ellipse besitzt eine große Halbachse in der rechten Halbebene, und der Winkel dieser Halbachse stellt sich als φ/2  ∈  ] −π/2, π/2 ] heraus (wobei wir die positive y-Achse zur rechten Halbebene zählen). Die Verdopplungsformeln und die allgemeine Winkelhalbierungsformel sind hier häufig im Einsatz. Ein geometrischer Blick auf die Halbierung ist dabei oft hilfreich.

Winkelhalbierung und Winkelverdopplung mit komplexen Zahlen

Wir leiten die Formeln für die Halbierung und Verdopplung von Winkeln noch mit Hilfe der komplexen Zahlen her. Das Produkt zweier komplexer Zahlen z₁ = (x₁, x₂), z₂ = (x₂, y₂)  ∈  ℂ ist definiert durch

z₁ z₂ = (x₁ x₂ − y₁ y₂, x₁ y₂ + x₂ y₂)

Geometrisch ergibt es sich durch Multiplikation der Längen und Addition der Winkel. Ist z₁ = (r₁, φ₁)_polar, z₂ = (r₂, φ₂)_polar, so gilt:

z₁ z₂ = (r₁ r₂, φ₁ + φ₂)_polar(geometrische Multiplikationsregel)

Speziell gilt z² = (r², 2φ) für z = (r, φ). Halbe Winkel erhalten wir also mit Hilfe von Quadratwurzeln. Sie lassen sich kartesisch wie folgt berechnen:

Berechnung von komplexen Wurzeln

Sei v = (x, y)  ∈  ℂ, und sei λ = |v| (= ∥ v ∥). Ein z = (a, b)  ∈  ℂ ist wegen z² = (a² − b², 2 a b) = (x, y) und | z |² = |z²| = | v | = λ genau dann eine Lösung der Gleichung

(+) z² = v,

wenn gilt:

(I)	a² − b² = x
(II)	2 a b = y
(III)	a² + b² = λ

Addition bzw. Subtraktion von (III) und (I) liefert:

a = ± $\sqrt{(λ + x) / 2}$ , b = ± $\sqrt{(λ - x) / 2}$ .

Aus (II) folgt sgn(a b) = sgn(y), sodass im Fall y ≥ 0 „++“ und „−−“ die Lösungen kennzeichnet, während wir im Fall y < 0 „+−“ und „−+“ erhalten.

Die Überlegung zeigt:

Satz (komplexe Quadratwurzeln, Winkelhalbierungsformel)

Sei v = (x, y)  ∈  ℂ, und sei λ = | v |. Dann ist

z = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $( \begin{matrix} \sqrt{λ + x} \\ {sgn}^{+} (y) \sqrt{λ - x} \end{matrix} )$  ∈  ℂ

die eindeutige Quadratwurzel von v mit arg(z)  ∈  ] −π/2, π/2 ] (mit arg(0) = 0).

Ist v ≠ 0, so ist − z die zweite Quadratwurzel von v. Weiter ist dann z/ $\sqrt{λ}$ normiert, sodass wir die obige Winkelhalbierungsformel reproduziert haben.

Mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion formuliert gilt für v und z wie im Satz:

z = $\sqrt{r}$ e^i φ/2 mit v = r e^i φ/2, φ  ∈  ] − π, π ].

Die komplexe Zahl z ist der sogenannte Hauptwert der (mehrwertigen) komplexen Quadratwurzel von v. Wir bezeichnen sie mit sqrt(v). Die Funktion sqrt : ℂ → ℂ nennen wir auch die rechte (oder rechtswertige) Quadratwurzelfunktion. Sie ist injektiv und ihr Wertebereich ist die rechte Halbebene einschließlich der nichtnegativen y-Achse.

Die Winkelverdopplungsformel ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Multiplikation. Ist v = (x, y) = (r, φ)_polar  ∈  ℂ, so gilt

v² = (x² − y², 2x y), v² = (r, 2φ)_polar.

Für v ≠ 0 erhalten wir einen normierten Vektor mit doppeltem Winkel also durch die Bildung von

λ⁻² (x² − y², 2x y), wobei λ = | v |.

Damit haben wir auch die Winkelverdopplungsformel noch einmal etabliert.