19. Vorlesung Reelle Vektoren
1. Vektoren im ℝn
Definition (die Räume ℝn, n-dimensionaler reeller Vektor)
Sei n ≥ 1. Dann setzen wir
ℝn = { (v1, …, vn) | v1, …, vn ∈ ℝ }.
Die Elemente des ℝn heißen n-dimensionale reelle Vektoren oder reelle Vektoren der Länge oder Dimension n. Ist v = (v1, …, vn) ∈ ℝn, so heißen die reellen Zahlen v1, …, vn die Komponenten des Vektors v. Genauer heißt vi die i-te Komponente von v für alle 1 ≤ i ≤ n.
Notation
Wie notieren Vektoren ohne Pfeile oder Striche. Bevorzugt verwenden wir die Zeichen v, w, u für Vektoren. Ein Index i bezeichnet, wenn nichts anderes gesagt ist, die i-te Komponente eines Vektors. Damit gilt für eine gegebene Dimension n zum Beispiel
v = (v1, …, vn), w = (w1, …, wn), u = (u1, …, un).
Vektoren des ℝ2 und ℝ3 notieren wir oft auch in der Form
v = (x, y) bzw. v = (x, y, z).
Den Raum ℝ1 identifizieren wir mit ℝ.
Definition (Nullvektor, kanonische Einheitsvektoren)
Sei n ≥ 1. Der Vektor 0 = (0, …, 0) ∈ ℝn heißt der Nullvektor oder Nullpunkt des ℝn. Wir bezeichnen ihn mit 0. Weiter setzen wir
e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), … en = (0, …, 0, 1).
Die Vektoren e1, …, en ∈ ℝn heißen die kanonischen Einheits- oder Basisvektoren des ℝn.
2. Die Vektoraddition
Definition (Vektoraddition)
Sei n ≥ 1. Dann setzen wir für alle v, w ∈ ℝn:
v + w = (v1 + w1, …, vn + wn)(Addition von v und w)
Definition (inverser Vektor, Vektorsubtraktion)
Sei n ≥ 1. Dann setzen wir für alle v, w ∈ ℝn:
−v = (− v1, …, − vn),
v − w = v + (−w) = (v1 − w1, …, vn − wn).
Der Vektor − v ∈ ℝn heißt der zu v additiv inverse Vektor. Der Vektor v − w heißt der Differenzvektor der Vektoren v und w.
Satz (Eigenschaften der Vektoraddition)
Sei n ≥ 1. Dann gilt für alle v, w, u ∈ ℝn:
v + (w + u) = (v + w) + u,(Assoziativität)
v + 0 = 0 + v = v,(Neutralität des Nullvektors)
v + (− v) = (− v) + v = 0,(Inversenbildung)
v + w = w + v.(Kommutativität)
3. Die Skalarmultiplikation
Definition (Skalarmultiplikation)
Sei n ≥ 1. Dann setzen wir für alle λ ∈ ℝ und alle v ∈ ℝn:
λ v = (λ v1, …, λ vn).(Multiplikation des Vektors v mit dem Skalar λ)
Satz (Eigenschaften der Skalarmultiplikation)
Sei n ≥ 1. Dann gilt für alle λ, μ ∈ ℝ und alle v, w ∈ ℝn:
(i) | 1 v = v, |
(ii) | λ (μ v) = (λ μ) v, |
(iii) | λ (v + w) = λ v + λ w, |
(iv) | (λ + μ) v = λ v + μ v. |
4. Die Euklidische Norm
Definition (Euklidische Norm bzw. Länge)
Sei n ≥ 1. Dann setzen wir für alle v ∈ ℝn:
∥ v ∥ = .
Die reelle Zahl ∥v∥ heißt die Euklidische Norm oder Länge des Vektors v.
Definition (normiert, Normierung)
Sei n ≥ 1. Ein Vektor v ∈ ℝn heißt normiert, falls ∥v∥ = 1. Für alle v ∈ ℝn mit v ≠ 0 definieren wir die Normierung von v durch v̂ = v/∥v∥. Weiter setzen wir v̂ = v = 0 ∈ ℝn, falls v = 0.
Satz (Eigenschaften der Euklidischen Norm)
Sei n ≥ 1. Dann gilt für alle λ ∈ ℝ und alle v, w ∈ ℝn:
(i) | ∥v∥ = 0 genau dann, wenn v = 0, |
(ii) | ∥ λ v ∥ = |λ| ∥v∥, |
(iii) | ∥ v + w ∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥.(Dreiecksungleichung) |
Beweis
Die Eigenschaften (i) und (ii) ergeben sich unschwer aus den Definitionen. Zum Beweis der Dreiecksungleichung verwenden wir:
(+) 2 x y ≤ x2 + y2 für alle x, y ∈ ℝ.
Diese Ungleichung folgt aus 0 ≤ (x − y)2 = x2 − 2xy + y2 für alle x, y ∈ ℝ.
Seien nun v, w ∈ ℝn beliebig. Dann ergibt eine n-fache Anwendung von (+):
| 2 (v̂1 ŵ1 + … + v̂n ŵn) | ≤ v̂12 + ŵ12 + … + v̂n2 + ŵn2 |
| = ∥ v̂ ∥2 + ∥ ŵ ∥2 = 1 + 1 = 2. |
Division durch 2 und Multiplikation mit den Normen von v und w liefert:
(◇) v1 w1 + … + vn wn ≤ ∥v∥ ∥w∥.
Damit können wir nun rechnen:
| ∥ v + w ∥2 | = (v1 + w1)2 + … + (vn + wn)2 |
| = ∥v∥2 + ∥w∥2 + 2(v1 w1 + … + vn wn) | |
| ≤ ∥v∥2 + ∥w∥2 + 2 ∥v∥ ∥w∥ ≤ (∥v∥ + ∥w∥)2. |
Wurzelziehen erhält die Ungleichung (da die Wurzelfunktion monoton steigt) und liefert die Behauptung.
5. Das Euklidische Skalarprodukt
Definition (Euklidisches Skalarprodukt)
Sei n ≥ 1. Dann setzen wir für alle v, w ∈ ℝn:
〈 v, w 〉 = v • w = v1 w1 + … + vn wn.
Die reelle Zahl 〈 v, w 〉 heißt das Euklidische Skalarprodukt der Vektoren v und w.
Satz (Skalarprodukt und Norm)
Für alle v ∈ ℝn gilt:
∥v∥2 = 〈 v, v 〉.
Satz (Eigenschaften des Euklidischen Skalarprodukts)
Sei n ≥ 1. Dann gilt für alle λ ∈ ℝ und alle v, w, v′, w′ ∈ ℝn:
(i) | 〈 v + λv′, w 〉 = 〈 v, w 〉 + λ 〈 v′, w 〉, 〈 v, w + λw′ 〉 = 〈 v, w 〉 + λ 〈 v, w′ 〉, (Bilinearität) |
(ii) | 〈 v, w 〉 = 〈 w, v 〉, (Symmetrie) |
(iii) | 〈 v, v 〉 > 0 für alle v ≠ 0. (positive Definitheit) |
Satz (binomische Formeln und Polarisation)
Sei n ≥ 1. Dann gilt für alle v, w ∈ ℝn:
(a) | ∥ v ± w ∥2 = ∥v∥2 + ∥w∥2 ± 2 〈 v, w 〉,(binomische Formeln) |
(b) | 4 〈 v, w 〉 = ∥ v + w ∥2 − ∥ v − w ∥2.(Polarisation) |
Beweis
Seien v, w ∈ ℝn. Dann gilt:
| ∥ v + w ∥2 | = 〈 v + w, v + w 〉 |
| = 〈 v, v + w 〉 + 〈 w, v + w 〉 | |
| = 〈 v, v 〉 + 〈 v, w 〉 + 〈 w, v 〉 + 〈 w, w 〉 | |
| = 〈 v, v 〉 + 2 〈 v, w 〉 + 〈 w, w 〉 | |
| = ∥v∥2 + ∥w∥2 + 2 〈 v, w 〉. |
Die zweite binomische Formel wird analog bewiesen. Die Polarisationsformel ergibt sich durch ausrechnen.
6. Die Ungleichung von Cauchy-Schwarz
Satz (Ungleichung von Cauchy-Schwarz)
Sei n ≥ 1. Dann gilt für alle v, w ∈ ℝn:
|〈 v, w 〉| ≤ ∥v∥ ∥w∥.
Erster Beweis
Seien v, w ∈ ℝn. Wir wissen schon (nach (◇) oben), dass 〈 v, w 〉 ≤ ∥v∥ ∥w∥. Ist 〈 v, w 〉 < 0, so ist 〈 −v, w 〉 > 0 und
|〈 v, w 〉| = 〈 −v, w 〉 ≤ ∥ −v ∥ ∥w∥ = ∥v∥ ∥w∥.
Zweiter Beweis
Es genügt, normierte Vektoren zu betrachten. Denn für v = 0 oder w = 0 ist die Ungleichung klar und für Längen ungleich 1 folgt sie durch Skalierung aus der Version für normierte Vektoren. Seien also v, w ∈ ℝn normiert. Dann gilt für alle λ ∈ ℝ nach den binomischen Formeln:
0 ≤ ∥ v − λ w ∥2 = ∥v∥2 + λ2 ∥w∥2 − 2λ 〈 v, w 〉 = 1 + λ2 − 2λ 〈 v, w 〉.
Für den Spezialfall λ = 〈 v, w 〉 erhalten wir 0 ≤ 1 − 〈 v, w 〉2, sodass
|〈 v, w 〉| ≤ 1 = 1 · 1 = ∥v∥ ∥w∥.