21. Vorlesung (2 × 2)-Matrizen

1. (2 × 2)-Matrizen

Definition (2×2-Matrizen)

Eine doppelt indizierte Folge reeller Zahlen der Form (a_1,1, a_1,2, a_2,1, a_2,2) heißt eine reelle 2 × 2-Matrix. Wir notieren eine Matrix A in den Formen

A = $( \begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} )$ = (a_ij)_{1 ≤ i,j ≤ 2} = (a_ij)_i, j.

Die Elemente a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ heißen die Einträge der Matrix A. Weiter heißen a₁₁ und a₂₂ die Diagonaleinträge, (a₁₁, a₂₂) die (Haupt-) Diagonale und a₁₁ + a₂₂ die Spur von A. Ist a₁₂ = a₂₁ = 0, so heißt A eine Diagonalmatrix. Wir setzen

A(i, j) = a_ij für alle 1 ≤ i, j ≤ 2.

Die Vektoren (a₁₁, a₁₂), (a₂₁, a₂₂)  ∈  ℝ² heißen die Zeilenvektoren von A, die Vektoren (a₁₁, a₂₁), (a₁₂, a₂₂)  ∈  ℝ² die Spaltenvektoren von A. Wir setzen

ℝ^2 × 2 = { A | A ist eine reelle 2 × 2-Matrix }.

Konvention: Strichpunkt und Komma

Jedes Paar von Vektoren der Ebene lässt sich als 2 × 2-Matrix auffassen. Sind v, w  ∈  ℝ², so ist A = (v, w) die 2 × 2 Matrix mit den Zeilenvektoren v und w und B = (v; w) die 2 × 2-Matrix mit den Spaltenvektoren v und w.

Definition (Transposition, symmetrisch)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann ist die zu A transponierte Matrix A^t definiert durch

A^t(i, j) = A(j, i) für alle 1 ≤ i, j ≤ 2.

Gilt A = A^t, so heißt A symmetrisch.

Definition (Nullmatrix, Einheitsmatrix)

Die Nullmatrix 0  ∈  ℝ^2 × 2 und die Einheitsmatrix E₂  ∈  ℝ^2 × 2 sind definiert durch

0 = ((0, 0); (0, 0)) = $( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ , E₂ = ((1, 0); (0, 1)) = $( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ .

Notation: Kronecker-Delta

Für zwei Indizes i, j ist das Kronecker-Delta δ_ij definiert durch

$δ_{ij} = { \begin{matrix} 1 & falls i = j \\ 0 & falls i \neq j. \end{matrix}$

Die Einheitsmatrix E₂  ∈  ℝ^2 × 2 lässt sich mit Hilfe des Kronecker-Deltas nun definieren durch E₂(i, j) = δ_ij für alle 1 ≤ i, j ≤ 2.

Notation

Für alle d₁, d₂  ∈  ℝ setzen wir diag(d₁, d₂) = $( \begin{matrix} d_{1} & 0 \\ 0 & d_{2} \end{matrix} )$ .

2. Addition und Skalierung von Matrizen

Definition (Addition von Matrizen)

Seien A, B  ∈  ℝ^2 × 2. Dann setzen wir

A + B = $( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} )$ + $( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{matrix} )$ .

Die Matrix A + B  ∈  ℝ^2 × 2 heißt die Summe der Matrizen A und B.

Definition (Subtraktion von Matrizen)

Seien A, B  ∈  ℝ^2 × 2. Dann setzen wir

− A = $( \begin{matrix} - a_{11} & - a_{12} \\ - a_{21} & - a_{22} \end{matrix} )$ ,

A − B = A + (−B).

Die Matrix A − B  ∈  ℝ^2 × 2 heißt die Differenz der Matrizen A und B.

Definition (Skalierung von Matrizen)

Seien A  ∈  ℝ^2 × 2 und λ  ∈  ℝ. Dann setzen wir

λ A = λ $( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} λ a_{11} & λ a_{12} \\ λ a_{21} & λ a_{22} \end{matrix} )$ .

Die Matrix λ A  ∈  ℝ^2 × 2 heißt das Produkt der Matrix A mit dem Skalar λ.

Satz (Rechenregeln für Matrizen)

Für alle A, B, C  ∈  ℝ^2 × 2 und λ, μ  ∈  ℝ gilt:

(a)	A + (B + C) = (A + B) + C,

(b)	A + 0 = 0 + A = A,

(c)	A + (− A) = (− A) + A = 0,

(d)	A + B = B + A,

(e)	1 A = A, − A = (− 1) A,

(f)	λ (A + B) = λ A + λ B,

(g)	λ (μ A) = (λ μ) A = μ (λ A).

3. Das Matrix-Vektor-Produkt

Definition (Matrix-Vektor-Produkt)

Seien A  ∈  ℝ^2 × 2 und v = (x, y)  ∈  ℝ². Dann setzen wir

A v = A (x, y) = $( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a x + b y \\ c x + d y \end{matrix} )$  ∈  ℝ².

Der Vektor A v  ∈  ℝ² heißt das Matrix-Vektor-Produkt von A mit v.

Matrizen als Abbildungen

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann können wir das Matrix-Vektor-Produkt als Abbildung von ℝ² nach ℝ² auffassen: Jedem v  ∈  ℝ² wird der Vektor

f_A(v) = Av  ∈  ℝ²

zugeordnet. Wir werden den Sichtweise „Matrizen als Abbildungen“ und die Abbildungen f_A : ℝ² → ℝ² später genauer untersuchen. Für jetzt genügt es, den funktionalen Zusammenhang zwischen v und Av bei festgehaltener Matrix A wahrzunehmen. So können wir zum Beispiel sagen, dass v auf Av abgebildet wird, oder dass A gewisse Abbildungseigenschaften besitzt.

Satz (Linearität des Matrix-Vektor-Produkts)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann gilt für alle v, w  ∈  ℝ² und λ, μ  ∈  ℝ:

A(λ v + μ w) = λ A v + μ A w.

Das Matrix-Vektor-Produkt lässt sich durch lineare Gleichungssysteme illustrieren. Ein System

(+)	a x + b y = u₁
	c x + d y = u₂

können wir mit Hilfe des Produkts notieren als

$( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix} )$ = u.

Ist A die Koeffizientenmatrix des Systems, so gilt

L = { v  ∈  ℝ² | A v = u }.

Das System (+) selbst können wir damit sehr kompakt angeben als

A (x, y) = u.(Matrix-Form eines linearen Gleichungssystems)

4. Die Matrizen-Multiplikation

Definition (Produkt zweier Matrizen)

Seien A, B  ∈  ℝ^2 × 2, und sei B = (b₁; b₂). Dann setzen wir

A · B = (A b₁; A b₂).

Die Matrix A · B  ∈  ℝ^2 × 2 heißt das Produkt der Matrizen A und B. Wir schreiben auch kurz A B statt A · B.

In Langform notiert ergibt sich

A · B	= $( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} )$ · $( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} )$
	= $( \begin{matrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{matrix} )$ .

Die Berechnung lässt sich kompakt als Zeile mal Spalte zusammenfassen.

Komposition von Gleichungssystemen

Seien A, B  ∈  ℝ^2 × 2, u  ∈  ℝ². Das kombinierte Gleichungssystem

B (x, y) = (x′, y′), A (x′, y′) = u

wird von (x, y)  ∈  ℝ² genau dann gelöst, wenn

(A B) (x, y) = u.

Satz (Eigenschaften der Matrizenmultiplikation)

Für alle A, B, C  ∈  ℝ^2 × 2 und alle v = (x, y)  ∈  ℝ² gilt:

(a)	A (B v) = (A B) v,

(b)	A (B C) = (A B) C,(Assoziativität)

(c)	A E₂ = E₂ A = A,(Neutralität von E₂)

(d)	A (B + C) = A B + A C, (A + B) C = A C + B C.(Distributivität)

Satz (Multiplikationssatz für Determinanten)

Seien A, B  ∈  ℝ^2 × 2. Dann gilt det(AB) = det(A) det(B).

Definition (Potenzen für Matrizen)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann setzen wir:

A⁰ = E₂, A¹ = A, A² = A A, A³ = A² A, …

5. Matrizen und lineare Abbildungen

Definition (zugeordnete Abbildung)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann ist die Abbildung f_A : ℝ² → ℝ² definiert durch

f_A(v) = A v für alle v  ∈  ℝ².

Die Abbildung f_A heißt die der Matrix A zugeordnete Abbildung.

Satz (Matrizenmultiplikation als Komposition)

Für alle A, B  ∈  ℝ^2 × 2 gilt f_A B = f_A ∘ f_B.

Definition (lineare Abbildung)

Eine Abbildung f : ℝ² → ℝ² heißt linear, falls für alle v, w  ∈  ℝ² und alle λ, μ  ∈  ℝ gilt:

f(λ v + μ w) = λ f (v) + μ f (w).(Linearitätsbedingung)

Alle Abbildungen der Form f_A : ℝ² → ℝ² sind linear. Der folgende grundlegende Satz besagt, dass es keine weiteren Beispiele gibt:

Satz (Hauptsatz über lineare Abbildungen und Matrizen)

Sei f : ℝ² → ℝ² linear. Dann gibt es genau ein A  ∈  ℝ^2 × 2 mit f = f_A.

Beweis

zur Existenz:

Wir setzen A = (f (e₁); f (e₂)), d. h. die Spalten von A sind die Bilder der kanonischen Basisvektoren e₁ und e₂ unter f. Dann gilt A e₁ = f (e₁) und A e₂ = f (e₂). Folglich gilt für alle v = (x, y)  ∈  ℝ²:

f_A(v)	= f_A(x e₁ + y e₂) = x f_A(e₁) + y f_A(e₂)
	= x f (e₁) + y f (e₂) = f (x e₁ + y e₂) = f (v).

zur Eindeutigkeit:

Seien A, B  ∈  ℝ^2 × 2 mit f_A = f = f_B. Dann gilt

A e₁ = f_A(e₁) = f_B(e₁) = B e₁,

sodass die erste Spalte von A mit der ersten Spalte von B übereinstimmt. Anlog zeigt eine Multiplikation mit e₂, dass die zweiten Spalten der Matrizen A und B übereinstimmen. Damit gilt A = B.

Wir betrachten zwei wichtige Beispiele.

Projektionsmatrizen

Sei u  ∈  ℝ² mit u ≠ 0. Dann ist die orthogonale Projektion pr_u : ℝ² → ℝ², die einen Vektor v auf pr_u(v) = 〈 û, v 〉 û abbildet, linear. Wir nehmen zur Vereinfachung der Notation an, dass u normiert ist. Dann gilt

pr_u(e₁) = 〈 u, e₁ 〉 u = u₁ u = (u₁², u₁u₂),

pr_u(e₂) = 〈 u, e₂ 〉 u = u₂ u = (u₁u₂, u₂²).

Damit erhalten wir die symmetrische Matrix

A_u = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} & u_{1} u_{2} \\ u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} \end{matrix} )$

als darstellende Matrix. Matrizen dieser Form heißen Projektionsmatrizen. Wir können diese Matrizen auch anders gewinnen, indem wir schreiben

pr_u(v) = 〈 u, v 〉 u = (u₁ v₁ + u₂ v₂) $( \begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} & u_{1} u_{2} \\ u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} )$ .

Eine Projektionsmatrix A_u besitzt die Determinante 0. Alle Vektoren der Ebene werden durch A_u auf die von u erzeugte Gerade abgebildet.

Rotationsmatrizen

Sei φ  ∈  ℝ. Die Abbildung rot_φ : ℝ² → ℝ², die einen Vektor v  ∈  ℝ² um einen Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn dreht, ist linear. Es gilt

f (e₁) = (cos φ, sin φ), f (e₂) = rot_π/2(f (e₁)) = (−sin φ, cos φ).

Für die darstellende Matrix A_φ = A_{rot_φ} gilt also

A_φ = $( \begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )$ .

Durch den Übergang von A zu f_A können wir die Determinante einer Matrix A anschaulich interpretieren: In den Spalten von A stehen die Bilder der kanonischen Basisvektoren. Die Basisvektoren e₁ und e₂ spannen ein Parallelogramm der Fläche 1 auf (ein Quadrat). Ihre Bilder f_A(e₁) und f_A(e₂) unter f_A spannen ein Parallelogramm der signierten Fläche det(A) auf, wobei wir eine negative Fläche als negative Orientierung der Bildvektoren interpretieren. Damit gilt:

Die Determinante einer Matrix A ist ein Maß für die von der linearen Abbildung f_A bewirkte Flächenverzerrung.

Diese Verzerrung kann durch die Skalierung der Basisvektoren, durch die Veränderung des eingeschlossenen rechten Winkels und durch die Umkehr der Orientierung entstehen.