22. Vorlesung Invertierung und Orthogonalität

1. Das Inverse einer Matrix

Definition (invertierbar, invers, singulär)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Gibt es ein B  ∈  ℝ^2 × 2 mit B A = E₂ = B A, so heißt A invertierbar und B invers zu A. Andernfalls heißt A singulär.

Notation

Ist A invertierbar, so bezeichnen wir das (eindeutige) Inverse von A mit A⁻¹.

Satz (Inversenregeln)

Seien A, B  ∈  ℝ^2 × 2 invertierbar. Dann sind A⁻¹ und AB invertierbar und es gilt

(A⁻¹)⁻¹ = A, (A B)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹.

Beweis

Es gilt AA⁻¹ = E₂ = A⁻¹A, sodass nach Definition des Inversen A invers zu A⁻¹ ist, d. h. (A⁻¹)⁻¹ = A. Zur zweiten Regel berechnen wir

(B⁻¹ A⁻¹) (AB) = B⁻¹ A⁻¹ A B = B⁻¹ E₂ B = B⁻¹ B = E₂.

Ebenso zeigt man, dass (AB)(B⁻¹ A⁻¹) = E₂. Damit ist B⁻¹A⁻¹ invers zu AB.

Lösen eines linearen Gleichungssystems durch Invertierung

Ist A invertierbar, so wird für alle rechten Seiten u das System A (x, y) = u eindeutig durch den Vektor A⁻¹u gelöst.

Definition (Komplementärmatrix)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann ist die Komplementärmatrix A^# von A definiert durch

A^# = $( \begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix} )$ , wobei A = $( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$ .

Satz (Komplementärmatrix und Determinante)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann gilt:

(a)	A^# A = A A^# = det(A) E₂.

(b)	A ist genau dann invertierbar, wenn det(A) ≠ 0. In diesem Fall ist A⁻¹ = det(A)⁻¹ A^#.

Beweis

Es gilt

A A^# = $( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} ad - bc & ab - ab \\ cd - cd & ad - bc \end{matrix} )$ = det(A) E₂.

Analog ist A^# A = det(A) E₂. Ist det(A) ≠ 0, so ist det(A)⁻¹A^# das Inverse von A nach (a). Ist det(A) = 0, so ist A nicht invertierbar. Dies zeigt (b).

2. Charakterisierungen der Invertierbarkeit

Satz (Äquivalenzen zur Invertierbarkeit)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann sind äquivalent:

(a)	A ist invertierbar.

(b)	det(A) ≠ 0.

(c)	Die Spalten von A sind nicht kollinear.

(d)	Die Zeilen von A sind nicht kollinear.

(e)	Für alle u ist das System Av = u eindeutig lösbar in v.

(f)	Für alle u ist das System Av = u lösbar in v.

(g)	Das homogene System Av = 0 ist eindeutig lösbar (durch den Nullvektor).

(h)	Der Nullvektor ist der einzige Vektor, der durch f_A : ℝ² → ℝ² auf den Nullvektor abgebildet wird.

(i)	f_A : ℝ² → ℝ² ist injektiv.

(j)	f_A : ℝ² → ℝ² ist surjektiv.

(k)	f_A : ℝ² → ℝ² ist bijektiv.

Satz (einseitige Inverse genügen)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Es gebe ein B  ∈  ℝ^2 × 2 mit AB = E₂. Dann ist A invertierbar und es gilt B = A⁻¹. Eine analoge Aussage gilt, wenn ein C  ∈  ℝ^2 × 2 existiert mit CA = E₂.

Beweis

Nach dem Multiplikationssatz für Determinanten gilt

1 = det(E₂) = det(AB) = det(A) det(B),

sodass det(A) ≠ 0. Folglich ist A invertierbar. Weiter folgt aus der Voraussetzung AB = E₂, dass

B = E₂ B = A⁻¹ A B = A⁻¹ E₂ = A⁻¹.

Die Behauptung über linksseitige Inverse C wird analog bewiesen.

3. Orthogonale Matrizen

Definition (orthogonal)

Eine Matrix A  ∈  ℝ^2 × 2 heißt orthogonal, wenn die Spaltenvektoren von A orthogonal zueinander und normiert sind.

Eine Matrix A = (v₁, v₂) ist also genau dann orthogonal, wenn 〈 v_i, v_j 〉 = δ_ij für alle 1 ≤ i, j ≤ 2. Dabei ist δ_ij wieder das Kronecker-Delta, also δ_ij = 0 falls i ≠ j und δ_ij = 1, falls i = j.

Satz (Charakterisierungen der Orthogonalität)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann sind äquivalent:

(a)	A ist orthogonal.

(b)	A⁻¹ = A^t, d. h. A und A^t sind invers zueinander.

(c)	A^t ist orthogonal, d. h. die Zeilenvektoren von A sind orthogonal und normiert.

(d)	Für alle v  ∈  ℝ² gilt ∥ A v ∥ = ∥v∥.(Erhalt der Länge)

(e)	Für alle v, w  ∈  ℝ² gilt 〈 A v, A w 〉 = 〈 v, w 〉.(Erhalt des Skalarprodukts)

Beweis

Die Äquivalenz von (a) und (b) folgt aus der Definition der Orthogonalität. Damit ist A^t genau dann orthogonal, wenn A^t und (A^t)^t = A invers zueinander sind, d. h. wenn A orthogonal ist.

(b) impliziert (d):

Es gelte A⁻¹ = A^t. Dann gilt für alle v  ∈  ℝ².

∥ Av ∥² = 〈 Av, Av 〉 = 〈 v, A^t A v 〉 = 〈 v, E₂ v 〉 = 〈 v, v 〉 = ∥v∥².

(d) impliziert (e):

Es gelte ∥ A v ∥ = ∥v∥ für alle v  ∈  ℝ². Dann gilt für alle v, w  ∈  ℝ² unter zweimaliger Verwendung der Polarisationsformel:

4 〈 v, w 〉	= ∥ v + w ∥² − ∥ v − w ∥² = ∥ A(v + w) ∥² − ∥ A(v − w) ∥²
	= ∥ A v + A w ∥² − ∥ A v − A w ∥² = 4 〈 Av, Aw 〉.

(e) impliziert (a):

Gilt (e), so gilt 〈 A e_i, A e_j 〉 = 〈 e_i, e_j 〉 = δ_ij für 1 ≤ i, j ≤ 2. Damit sind die Spalten A e₁ und A e₂ von A orthogonal und normiert.

4. Klassifikation der orthogonalen Matrizen

Ist A = (v; w) orthogonal, so ist v normiert und folglich gibt es ein φ  ∈  [ 0, 2π [ mit v = (cos φ, sin φ). Da w ebenfalls normiert ist und senkrecht auf v steht, gilt

w = rot_π/2(v) oder w = rot_−π/2(v).

Damit ist

w = (−sin φ, cos φ) oder w = (sin φ, −cos φ).

Die Überlegung zeigt:

Satz (Klassifikation der orthogonalen Matrizen)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2 orthogonal. Dann gibt es ein φ  ∈  [ 0, 2π [ mit

A = $( \begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )$ oder A = $( \begin{matrix} cos φ & sin φ \\ sin φ & - cos φ \end{matrix} )$ .

Im ersten Fall gilt det(A) = 1, im zweiten det(A) = −1.

Ist A orthogonal und det(A) = 1, so ist A v für alle v  ∈  ℝ² der um den Winkel φ gedrehte Vektor v. Im Fall det(A) = −1 ist A v für alle v  ∈  ℝ² der an der Geraden durch 0 mit Winkel φ/2 gespiegelte Vektor v. Wir nennen die Matrix A entsprechend eine Rotationsmatrix oder Spiegelungsmatrix. Spiegelungsmatrizen sind symmetrisch. Eine Rotationsmatrix ist nur dann symmetrisch, wenn φ  ∈  { 0, π }.

5. Matrizen und Ellipsen

Satz (Bild des Einheitskreises unter einer Matrix)

Sei A = ((a, c); (b, d)) = (u₁, u₂)  ∈  ℝ^2 × 2 invertierbar, und sei K der Einheitskreis. Dann ist E = A[ K ] = { A v | ∥v∥ = 1 } eine Ellipse. Es gilt die Kegelschnittdarstellung

(+) E = { (x, y)  ∈  ℝ² | (c² + d²)x² − 2(ac + bd) x y + (a² + b²)y² = det(A)² }.

Beweis

Sei A⁻¹ = det(A)⁻¹ A^#, mit A^# = ((d, −b), (−c, a)). Dann gilt

E = { Av | v  ∈  K } = { v | A⁻¹v  ∈  K } = { v | ∥ A⁻¹ v ∥ = 1 }.

Für alle v = (x, y)  ∈  ℝ² gilt

det(A)² ∥ A⁻¹ v ∥²	= ∥ A^# v ∥²
	= (dx − by)² + (−cx + ay)²
	= (c² + d²)x² − 2(ac + bd) x y + (a² + b²)y².

Damit ist die Darstellung (+) von E gezeigt. Als ein in ein Parallelogramm einbeschriebener Kegelschnitt ist E notwendig eine Ellipse.