25. Vorlesung (3 × 3)-Matrizen

1. Übertragung der Begriffe

Eine reelle 3 × 3-Matrix hat die Form

A = $( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} )$ = (a_ij)_{1 ≤ i,j ≤ 3}

mit den Einträgen A(i, j) = a_ij  ∈  ℝ. Wir können zahlreiche Begriffe von 2 × 2-Matrizen übernehmen: Diagonalmatrix, Zeilenvektoren, Spaltenvektoren, transponierte Matrix. Wir setzen:

ℝ^3 × 3 = { A | A ist eine reelle 3 × 3-Matrix }.

Sind A, B  ∈  ℝ^3 × 3, v  ∈  ℝ³ und λ  ∈  ℝ, so setzen wir

A + B = (a_ij + b_ij)_{1 ≤ i,j ≤ 3},(Matrizenaddition)

λA = (λa_ij)_{1 ≤ i,j ≤ 3},(Skalarmultiplikation)

A v = (a_i1 v₁ + a_i2 v₂ + a_i3 v₃)_{1 ≤ i ≤ 3},(Matrix-Vektor-Produkt)

AB = (a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + a_i3 b_3j)_{1 ≤ i,j ≤ 3},(Matrizenprodukt)

−A = (−1)A, A − B = A + (−B),

0 = „die Matrix A mit a_ij = 0 für alle i,j“,(Nullmatrix)

E₃ = (e₁, e₂, e₃),(Einheitsmatrix)

mit den kanonischen Einheitsvektoren

e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1).

Es gilt Av  ∈  ℝ³ und AB  ∈  ℝ^3 × 3. Nützlich ist die Darstellung

AB = C mit c_ij = ∑_{1 ≤ k ≤ 3} a_ik b_kj für alle 1 ≤ i, j ≤ 3.

Für alle A, B, C gilt A(BC) = (AB)C (Assoziativität), während die Kommutativität AB = BA im Allgemeinen verletzt ist.

2. Matrizen und lineare Abbildungen

Definition (zugeordnete Abbildung)

Sei A  ∈  ℝ^3 × 3. Dann ist die A zugeordnete Abbildung f_A : ℝ³ → ℝ³ definiert durch f_A(v) = A v für alle v  ∈  ℝ³.

Es gilt wieder f_A B = f_A ∘ f_B für alle A, B  ∈  ℝ^3 × 3.

Definition (lineare Abbildung)

Eine Abbildung f : ℝ³ → ℝ³ heißt linear, falls für alle v, w  ∈  ℝ³ und alle λ, μ  ∈  ℝ gilt:

f(λ v + μ w) = λ f (v) + μ f (w).(Linearitätsbedingung)

Jede Abbildung f_A : ℝ³ → ℝ³ ist linear und umgekehrt lässt sich jede lineare Abbildung f : ℝ³ → ℝ³ eindeutig durch eine Matrix A_f darstellen (Beweis wie für die Ebene). Die darstellende Matrix A_f erhalten wir, indem wir die Bilder der kanonischen Basisvektoren unter f als Spalten in eine Matrix schreiben:

A_f = (f (e₁); f (e₂); f (e₃)).

Projektion auf eine Gerade

Sei G = G(u) die von einen normierten Vektor u  ∈  ℝ³ aufgespannte Gerade. Dann ist die orthogonale Projektion pr_G : ℝ³ → ℝ³ auf G definiert durch

pr_G(v) = 〈 u, v 〉 u für alle v  ∈  ℝ³.

Die darstellende Matrix A_G von pr_G hat die Spalten

pr_G(e_i) = 〈 u, e_i 〉 u = u_i u für i = 1, 2, 3,

sodass

A_G = $( \begin{matrix} u_{1} u_{1} & u_{2} u_{1} & u_{3} u_{1} \\ u_{1} u_{2} & u_{2} u_{2} & u_{3} u_{2} \\ u_{1} u_{3} & u_{2} u_{3} & u_{3} u_{3} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} & u_{1} u_{2} & u_{1} u_{3} \\ u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} & u_{2} u_{3} \\ u_{1} u_{3} & u_{2} u_{3} & u_{3}^{2} \end{matrix} )$ .

Rotationsmatrizen

Sei φ  ∈  ℝ. Dann stellt die Matrix

A_φ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos φ & - sin φ \\ 0 & sin φ & cos φ \end{matrix} )$

die Rotation im ℝ³ um den Winkel φ (gegen den Uhrzeigersinn) mit der x-Achse als Drehachse dar. In den Spalten stehen die Bilder von e₁, e₂, e₃ unter der Rotation. Analog beschreiben

B_ψ = $( \begin{matrix} cos ψ & 0 & sin ψ \\ 0 & 1 & 0 \\ - sin ψ & 0 & cos ψ \end{matrix} )$ , C_χ = $( \begin{matrix} cos χ & - sin χ & 0 \\ sin χ & cos χ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$

die Rotationen um die Winkel φ um die y-Achse bzw. χ um die z-Achse.

3. Invertierung

Definition (invertierbar, invers, singulär)

Sei A  ∈  ℝ^3 × 3. Gibt es ein B  ∈  ℝ^3 × 3 mit BA = E₃ = BA, so heißt A invertierbar und B invers zu A. Andernfalls heißt A singulär.

Wir bezeichnen das (im Fall der Existenz eindeutig bestimmte) Inverse von A wieder mit A⁻¹. Es gelten wieder die Invertierungsregeln

(A⁻¹)⁻¹ = A, (A B)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹.

Ein Gleichungssystem

(+)	a₁ x + b₁ y + c₁ z = u₁
	a₂ x + b₂ y + c₂ z = u₂
	a₃ x + b₃ y + c₃ z = u₃

können wir wieder kompakt in der Form

A (x, y, z) = u

notieren, mit der Koeffizientenmatrix A = (a; b; c)  ∈  ℝ^3 × 3. Erneut gilt:

Lösung durch Invertierung

Ist A invertierbar, so wird für alle rechten Seiten u  ∈  ℝ³ das Gleichungssystem A (x, y, z) = u eindeutig durch den Vektor A⁻¹u gelöst.

Die eindeutige Lösbarkeit von Av = u ist äquivalent zu det(A) ≠ 0. Damit ist A genau dann invertierbar, wenn det(A) ≠ 0. Zur Berechnung von A⁻¹ verwenden wir einen Algorithmus, der sich auf beliebige (n × n)-Matrizen verallgemeinern lässt.

Invertierungsalgorithmus

Gegeben ist eine beliebige Matrix A  ∈  ℝ^3 × 3. Wir versuchen, A durch schrittweise elementare Zeilenoperationen in die Einheitsmatrix E₃ zu überführen. Dadurch entsteht eine endliche Folge A = A₀, …, A_k von 3 × 3-Matrizen. An Zeilenoperationen sind dabei erlaubt:

(a)	Multiplikation einer Zeile mit λ ≠ 0.

(b)	Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Parallel hierzu führen wir die Zeilenoperationen an der Einheitsmatrix E₃ durch, sodass eine zweite endliche Folge von 3 × 3-Matrizen E₃ = B₀, …, B_k entsteht. Wird beim Versuch, A in E₃ zu überführen eine Nullzeile oder Nullspalte produziert, so stoppen wir das Verfahren mit dem Ergebnis „A ist singulär“. Andernfalls geben wir die Matrix B_k als Ergebnis aus.

Beispiel: Überführung in die Einheitsmatrix

A₀ = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix} )$ B₀ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$

A₁ = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix} )$ B₁ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$

A₂ = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 1 \end{matrix} )$ B₂ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix} )$

A₃ = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix} )$ B₃ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix} )$

A₄ = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix} )$ B₄ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix} )$

A₅ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix} )$ B₅ = $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix} )$

A₆ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix} )$ B₆ = $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix} )$

A₇ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$ B₇ = $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \end{matrix} )$

Die ersten fünf Operationen sind Zeilenadditionen, die beiden letzten Zeilenmultiplikationen. Es gilt A₇ = E₃. Das Ergebnis der Berechnung ist also B = B₇. Nachrechnen zeigt, dass BA = E₃, sodass B = A⁻¹.

4. Die Elementarmatrizen

Um die Korrektheit des Invertierungsalgorithmus zu zeigen, definieren wir:

Definition (Elementarmatrix, Additionstyp, Multiplikationstyp)

Seien 1 ≤ i, j ≤ 3 und λ  ∈  ℝ. Dann ist W_ij(λ)  ∈  ℝ^3 × 3 definiert als die Matrix, die mit der Einheitsmatrix E₃ übereinstimmt, aber an der Stelle (i, j) den Eintrag λ besitzt. Eine solche Matrix W heißt eine Elementarmatrix, falls

W = W_ij(λ) mit λ  ∈  ℝ, i ≠ j, oder (Additionstyp)

W = W_ij(λ) mit λ  ∈  ℝ*, i = j.(Multiplikationstyp)

Wirkung der Elementarmatrizen

(1)	Ist W = W_ij(λ) ein Additionstyp, so ist WA die Matrix, die entsteht, wenn wir das λ-Fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile von A addieren.

(2)	Ist W = W_ii(λ) ein Multiplikationstyp, so ist WA die Matrix, die entsteht, wenn wir die i-te Zeile von A mit λ multiplizieren.

Eine Elementarmatrix ist invertierbar: Das Inverse eines Additionstyps W_ij(λ) ist W_ij(−λ) und das Inverse eines Multiplikationstyps W_ii(λ) ist W_ii(1/λ).

Den Invertierungsalgorithmus können wir nun so beschreiben: Gegeben A, versuchen wir, Elementarmatrizen L₁, …, L_k zu finden, sodass

(+) L_k … L₁ A = E₃.

Gelingt dies, so ist B = L_k… L₁ = A⁻¹, da B A = L_k … L₁ A = E₃ nach (+). Wegen B = B E₃ = L_k … L₁ E₃ erzeugt der Algorithmus im invertierbaren Fall also das Inverse von A in der parallel ausgeführten Zeilenmanipulation von E₃. Mit obigen Notationen gilt

A₀ = A, A₁ = L₁ A₀, A₂ = L₂ A₁ = L₂ L₁ A, …

B₀ = E₃, B₁ = L₁ B₀ = L₁, B₂ = L₂ B₁ = L₂ L₁, …

Wird eine Nullzeile oder Nullspalte erzeugt, so ist die Matrix

A_k = L_k … L₁ A

nicht invertierbar. Da alle L_i invertierbar sind, ist notwendig A singulär. Damit ist die Korrektheit des Algorithmus vollständig bewiesen.

Unsere Überlegungen zeigen (angewendet auf B = A⁻¹):

Satz (Zerlegung einer invertierbaren Matrix in Elementarmatrizen)

Sei A  ∈  ℝ^3 × 3 invertierbar. Dann gibt es ein k ≥ 1 und Elementarmatrizen L₁, …, L_k mit A = L_k … L₁.

5. Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition (Eigenwerte und Eigenvektoren)

Seien A  ∈  ℝ^3 × 3, λ  ∈  ℝ und v  ∈  ℝ² mit v ≠ 0. Dann heißt λ ein Eigenwert und v ein zu λ gehöriger Eigenvektor von A, falls Av = λv.

Erneut gilt für alle A  ∈  ℝ^3 × 3, λ  ∈  ℝ und v  ∈  ℝ³ die Äquivalenz:

A v = λ genau dann, wenn (A − λE₂) v = 0.

Mit A_λ = A − λ E₃, ist also λ genau dann ein Eigenwert von A, wenn das homogene Gleichungssystem A_λ v = 0 eine vom Nullvektor verschiedene Lösung v besitzt. Dies ist genau dann der Fall, wenn det(A_λ) = 0. Wir definieren:

Definition (charakteristisches Polynom)

Sei A  ∈  ℝ^3 × 3. Dann heißt das Polynom p_A : ℝ → ℝ dritten Grades mit

p_A(λ) = det(A_λ) = det(A − λE₃) für alle λ  ∈  ℝ

das charakteristische Polynom von A.

Die Eigenwerte von A sind genau die reellen Nullstellen von p_λ. Eine Berechnung der Determinante ergibt

p_A(λ) = −λ³ + spur(A) λ² − (det(A′₁₁) + det(A′₂₂) + det(A′₃₃)) λ + det(A)

für alle λ  ∈  ℝ, wobei A′_ij die (2 × 2)-Matrix ist, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte hervorgeht.

Beispiel

Für die obere Dreiecksmatrix A = ((1, 2, 3), (0, 1, 1), (0, 0, 1)) gilt

A′₁₁ = $( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ , A′₂₂ = $( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ , A′₃₃ = $( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ ,

p_A(λ) = −λ³ + 3λ² − 3λ + 1 = − (λ − 1)³ für alle λ  ∈  ℝ.

Damit ist λ = 1 eine dreifache Nullstelle von A. Lösen von (A − E₃) v = 0 zeigt, dass genau die Vektoren μe₁ mit μ  ∈  ℝ* Eigenvektoren von A zum Eigenwert 1 sind. Die Matrix A ist ein Beispiel dafür, dass zu einem mehrfachen Eigenwert nicht notwendig zwei oder mehr linear unabhängige Eigenvektoren gehören müssen.

Das charakteristische Polynom einer (3 × 3) Matrix hat stets den Grad 3. Da ein reelles Polynom ungeraden Grades eine reelle Nullstelle besitzt, erhalten wir:

Satz (Existenz von Eigenwerten)

Jede reelle (3 × 3)-Matrix besitzt mindestens einen reellen Eigenwert.

Beschreibt zum Beispiel A eine Rotation des dreidimensionalen Raumes, so sind die von Null verschiedenen Vektoren der Drehachse Eingenvektoren von A zum Eigenwert 1.

Erneut gilt (mit einem etwas komplizierteren Beweis):

Satz (Spektralsatz)

Sei A  ∈  ℝ^3 × 3. Dann sind äquivalent:

(a)	A ist symmetrisch.

(b)	Es gibt paarweise zueinander orthogonale Eigenvektoren v, w, u von A.

Hieraus ergibt sich die Diagonalisierung A = S⁻¹ D S einer symmetrischen Matrix A und die Singulärwertzerlegung A = S⁻¹ D^1/2 T einer beliebigen Matrix A, mit D diagonal und S, T orthogonal, d. h. S⁻¹ = S^t, T⁻¹ = T^t. Die Einheitssphäre S = { v  ∈  ℝ³ | ∥v∥ = 1 } wird durch A in ein Ellipsoid E transformiert (das degeneriert ist, wenn A singulär ist). Die Singulärwerte von A sind die Halbachsen von E und die Spalten von S⁻¹ sind normierte Halbachsenrichtungen.