26. Vorlesung Kurven

1. Vektorwertige Funktionen

Wir betrachten Funktionen der Form f : ℝ → ℝ^m oder f : P → ℝ^m mit P ⊆ ℝ mit einer natürlichen Zahl m ≥ 1.

Definition (Grenzwerte im ℝ^m)

Seien m ≥ 1, (x_n)_n ∈ ℕ eine Folge im ℝ^m und y  ∈  ℝ^m. Dann heißt y Grenzwert von (x_n)_n ∈ ℕ, falls gilt

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ ∥ y − x_n ∥ < ε.

Im Fall der Existenz ist der Grenzwert einer Folge erneut eindeutig bestimmt und wir schreiben wieder lim_n → ∞ x_n oder lim_n x_n für diesen Grenzwert.

Ist (x_n)_n ∈ ℕ = ((x_n, 1, …, x_n, m))_{n  ∈  ℕ} eine Folge im ℝ^m und y = (y₁,…, y_m)  ∈  ℝ^m, so sind äquivalent:

(1)	lim_n x_n = y.

(2)	lim_n x_{n, k} = y_k für alle 1 ≤ k ≤ m.(komponentenweise Konvergenz)

Definition (Stetigkeit für mehrdimensionale Funktionswerte)

Seien m ≥ 1, P ⊆ ℝ und f : P → ℝ^m. Weiter sei p  ∈  P. Dann heißt f ε-δ-stetig oder umgebungsstetig an der Stelle p, falls gilt:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x  ∈  P (|x − p| < δ → ∥ f (x) − f (p) ∥ < ε).

Weiter heißt f folgenstetig an der Stelle p, falls für jede Folge (x_n)_n ∈ ℕ in P gilt, dass

lim_n x_n = p impliziert lim_n f (x_n) = f (p).

Ist f umgebungs- bzw. folgenstetig an allen Stellen p  ∈  P, so heißt f umgebungsstetig bzw. folgenstetig.

Die beiden Stetigkeitsbegriffe erweisen sich wie im eindimensionalen Fall als äquivalent, sodass wir auch kurz von Stetigkeit ohne Zusatz sprechen können.

Definition (Komponentenfunktionen)

Seien m ≥ 1, P ⊆ ℝ und f : P → ℝ^m. Dann heißen die reellen Funktionen f₁, …, f_m : P → ℝ mit

f (x) = (f₁(x), …, f_m(x)) für alle x  ∈  P

die Komponenten- oder Koordinatenfunktionen von f.

Für alle m ≥ 1, P ⊆ ℝ, f : P → ℝ^m und p  ∈  P sind äquivalent:

(1)	f ist stetig an der Stelle p.

(2)	f₁, …, f_m sind stetig an der Stelle p.(komponentenweise Stetigkeit)

2. Kurven und Tangentialvektoren

Definition (Kurve, Parameter, Bahn, Spur)

Sei m ≥ 1, und sei [ a, b ] ⊆ ℝ ein reelles Intervall. Weiter sei f : [ a, b ] → ℝ^m stetig. Dann heißt f eine (parametrisierte) Kurve im ℝ^m und jedes t  ∈  [ a, b ] heißt ein Parameter von f. Der Wertebereich

spur(f) = { f (t) | t  ∈  [ a, b ] }

von f heißt auch die Bahn oder Spur von f.

Definition (Startpunkt, Endpunkt, geschlossen, offen)

Sei f : [ a, b ] → ℝ^m eine Kurve. Dann heißt f (a) der Startpunkt und f (b) der Endpunkt von f. Gilt f (a) = f (b), so heißt die Kurve geschlossen. Andernfalls heißt sie offen.

Definition (differenzierbar, Ableitung, Tangentialvektor, regulär, singulär)

Sei f : [ a, b ] → ℝ^m eine Kurve. Weiter sei t  ∈  [ a, b ]. Dann heißt f (stetig) differenzierbar an der Stelle t, falls alle Komponenten f₁, …, f_m von f an der Stelle t (stetig) differenzierbar sind. Wir setzen dann

f ′(t) = (f₁′(t), …, f_m′(t))  ∈  ℝ^m.

Der Vektor f ′(t) heißt die Ableitung oder der Tangentialvektor von f an der Stelle t. Ist f ′(t) ≠ 0, so heißt der Parameter t regulär. Ist f ′(t) = 0, so heißt t singulär. Schließlich heißt f (stetig) differenzierbar, falls f (stetig) differenzierbar für alle t  ∈  [ a, b ] ist.

Unter der dynamischen Interpretation ist f ′(t) der Geschwindigkeitsvektor der Kurve f zum Zeitpunkt t. Der Betrag der Geschwindigkeit ist

λ = ∥ f ′(t) ∥ = $\sqrt{f_{1} ′ (t)^{2} + … + f_{m} ′ (t)^{2}}$ .

Ist λ ≠ 0, d. h. t ein regulärer Parameter, so ist f ′(v)/λ die normierte Richtung der Geschwindigkeit, und diese Richtung ist tangential zur Spur von f. Ist λ = 0, so steht ein sich gemäß f (t) bewegender Punkt zum Zeitpunkt t still.

Beispiel

Sei f : [ 0, 2π ] → ℝ² definiert durch

f (t) = e^i t = (cos t, sin t) für alle t  ∈  [ 0, 2π ].

Dann ist f eine geschlossene Kurve, die die gleichmäßige Bewegung eines Punktes auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn mit Startpunkt 1 = (1, 0) beschreibt. Die Spur von f ist der Einheitskreis K. Die Kurve ist stetig differenzierbar mit

f ′(t) = (cos′ t, sin′ t) = (−sin t, cos t) für alle t  ∈  [ 0, 2π].

Der Vektor f ′(t) hat für alle t die Länge 1 und er steht senkrecht auf f (t).

3. Die Länge einer Kurve

Definition (Polygon-Approximation)

Sei f : [ a, b ] → ℝ^m eine Kurve, und sei p = (t_k)_k ≤ n eine (stützstellenfreie) Partition von [ a, b ]. Dann setzen wir

L_p f = ∑_k ≤ n ∥ f(t_k + 1) − f (t_k) ∥ (wobei wieder t_n + 1 = b).

Die reelle Zahl L_p f ist die Euklidische Länge des durch die Punkte

f (a) = f (t₀), f (t₁), f (t₂), …, f (t_n), f(t_n + 1) = f (b)

definierten Polygon-Zugs im ℝ^m. Je feiner die Partition p ist, desto mehr nähert sich L_p f anschaulich der Länge der Kurve f an.

Definition (rektifizierbar, Länge)

Sei f : [ a, b ] → ℝ^m eine Kurve. Dann heißt f rektifizierbar, falls

L(f) = lim_{δ(p) → 0} L_p f

existiert. In diesem Fall heißt L(f) die (Euklidische) Länge von f.

Der Grenzwert

c = lim_{δ(p) → 0} L_p f

bedeutet, dass für jede Folge (p_n)_{n  ∈  ℕ} von Partitionen von [ a, b ], deren Feinheiten gegen Null konvergieren, die Folge (L_{p_n} f)_{n  ∈  ℕ} der Längen der zugehörigen Polygon-Approximationen gegen den gleichen reellen Wert c konvergiert. Der Leser vergleiche dies mit der Definition des Riemann-Integrals.

4. Die Längenformel

Satz (Längenformel für stetig differenzierbare Kurven)

Sei f : [ a, b ] → ℝ^m eine stetig differenzierbare Kurve. Dann ist f rektifizierbar und es gilt

L(f) = ∫^b_a ∥ f ′(t) ∥ dt.(Längenformel)

Durch ein dynamisches Argument wird die Längenformel plausibel: Nach der Formel „Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit“ können wir ∥ f ′(t) ∥ dt als den infinitesimal zurückgelegten Weg auffassen. Im Integral werden diese infinitesimalen Wege zur Gesamtlänge des zurückgelegten Weges aufsummiert.

Beispiel: Parabelbogen

Wir berechnen die Länge eines Parabelbogens. Sei hierzu [ a, b ] ein reelles Intervall, und sei f : [ a, b ] → ℝ² definiert durch

f (t) = (t, t²) für alle t  ∈  [ a, b ].

Die stetig differenzierbare Kurve f durchläuft den durch das Intervall [ a, b ] definierten Bogen der Einheitsparabel. Es gilt

f ′(t) = (1, 2t), ∥ f ′(t) ∥² = 1 + 4t² für alle t  ∈  [ a, b ].

Zur Berechnung der Länge von f verwenden wir, dass

∫ $\sqrt{c^{2} + t^{2}}$ dt = ¹₂ (t $\sqrt{c^{2} + t^{2}}$ + c² log(t + $\sqrt{c^{2} + t^{2}}$ )) für alle c  ∈  ℝ.

Mit c = 1/2 erhalten wir

L(f)	= ∫^b_a ∥ f ′(t)  ∥ dt = ∫^b_a $\sqrt{1 + {4 t}^{2}}$ dt
	= 2 ∫^b_a $\sqrt{(1 / 2)^{2} + t^{2}}$ dt
	= ${[t \sqrt{1 / 4 + t^{2}} + \frac{1}{4} log (t + \sqrt{1 / 4 + t^{2}})]}_{t = a}^{t = b}$ .

Für das Intervall [ a, b ] = [ 0, 1 ] ergibt sich

L(f)	= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ + ¹₄ log(1 + $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ) − ¹₄ log(¹₂)
	= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ + ¹₄ log(2 + $\sqrt{5}$ ) = 1,4789…

Zum Vergleich: Die Länge der Diagonalen des Einheitsquadrats ist gleich $\sqrt{2}$ = 1,4142… Wir machen also keinen allzu großen Umweg, wenn wir anstelle der Diagonalen auf dem Parabelbogen von (0, 0) nach (1, 1) laufen.