8. Vorlesung Ableitungsregeln

1. Der Kalkül des Differenzierens

Satz (Ableitungsregeln)

Unter der Voraussetzung der Definiertheit der Funktionsanwendungen und Existenz der Ableitungen gilt für alle reellen Funktionen f, g:

(a)	(a f + b g)′(p) = a f ′(p) + b g′(p) für alle a, b  ∈  ℝ,(Linearität)

(b)	(f g)′(p) = f ′(p) g(p) + f (p) g′(p), (Produktregel)

(c)	(f/g)′(p) = ^{f ′(p) g(p) − g′(p) f (p)}_g²(p), (Quotientenregel)

(d)	(g ∘ f)′(p) = g′(f (p)) · f ′(p), (Kettenregel)

(e)	(f ⁻¹)′(f (p)) = ¹_f ′(p), falls f ′(p) ≠ 0. (Ableitung der Umkehrfunktion)

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Regeln zu beweisen:

Möglichkeit 1: Wir berechnen die Differentialquotienten.

Möglichkeit 2: Wir verwenden den linearen Approximationssatz.

Exemplarisch zeigen wir:

Beweis der Produktregel mit Hilfe des Approximationssatzes

Seien f und g differenzierbar an der Stelle p, sodass

f (x)	= f (p) + f ′(p) (x − p) + o(x − p),
g(x)	= g(p) + g′(p) (x − p) + o(x − p) für x → p.

Dann gilt

(f · g)(x)	= f (x) · g(x)
	= f (p) g(p) + f (p) g′(p) (x − p) + f ′(p) g(p) (x − p) + o(x − p)
	= f (p) g(p) + (f (p)g′(p) + f ′(p) g(p))(x − p) + o(x − p) für x → p.

Dabei enthält das „o“ in der zweiten Zeile die Summe

(f (p) + g(p) + f ′(p) (x − p) + g′(p) (x − p)) o(x − p) + o((x − p)²).

Nach dem Approximationssatz ist also die Produktfunktion fg differenzierbar an der Stelle p und es gilt

(f g)′(p) = f ′(p) g(p) + f (p) g′(p).

2. Einfache Ableitungen

Mit Hilfe der geometrischen Summe haben wir gezeigt, dass dxⁿ/dx = n x^n − 1 für alle n ≥ 1 gilt. Aufgrund der Linearität der Ableitung ergibt sich folgende Ableitungsregel für Polynome:

^d_dx(a_n xⁿ + … + a₂ x² + a₁ x + a₀) = n a_n x^n − 1 + … + 2 a₂ x + a₁.

Die Ableitung einer rationalen Funktion f/g ergibt sich aus der Ableitungsregel für Polynome und der Quotientenregel:

(f/g)′ = ^{f ′ g − g′ f}_g².

Für die Exponentialfunktion gilt nach unserer Charakterisierung

exp′ = exp.

Die Ableitung der Logarithmus erhalten wir mit Hilfe der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion:

^d_dx log x = ¹_{exp′(log x)} = ¹_exp(log x) = ¹_x.

Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktionen können wir mit der Kettenregel bestimmen. Für alle a > 0 gilt:

^d_dxa^x = ^d_dxe^{x log a} = e^{x log a} ^d_dx(x log a) = a^x log a.

Damit gilt exp_a′ = log(a) exp_a. Für die Umkehrfunktionen erhalten wir

^d_dx log_a x = ¹_{exp_a′(log_a x)} = ¹_{log(a) exp_a(log_a x)} = ¹_{log(a) x}.

Für die Potenzfunktionen gilt schließlich

^d_dx x^a = ^d_dx e^{a log x} = e^{a log x} ^d_dx(a log x) = x^a ^a_x = a x^a − 1,

in Übereinstimmung und Verallgemeinerung der Ableitungsregel für die Monome xⁿ.

3. Die Ableitungen von Kosinus und Sinus

Eine Betrachtung der Graphen von Kosinus und Sinus legt die Hypothese nahe, dass cos′ = − sin und sin′ = cos. Um die Hypothese zu beweisen, zeigen wir zunächst:

Satz (Ableitungen vom Kosinus und Sinus im Nullpunkt)

Es gilt: lim_x → 0 ^sin x_x = 1, lim_x → 0 ^{cos x − 1}_x = 0.

Damit ist sin′(0) = 1 und cos′(0) = 0.

Beweis

Wir zeigen die Aussage für den Sinus. Die Aussage für den Kosinus kann ähnlich bewiesen werden. Wegen sin(−x) = −sin x können wir uns auf positive x beschränken. Sei also x  ∈  ] 0, π/2 [. Wir betrachten die Punkte

A = (1, 0), P = (cos x, sin x)  ∈  K₁, Q = (1, tan x),

sodass Q auf der Geraden OP liegt und OAQ ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Es gilt

(+) ^sin x₂ ≤ ^x₂ ≤ ^tan x₂,

denn die drei Größen sind der Reihe nach die Flächen

des Dreiecks OAP, des Kreissegments OAP, des Dreiecks OAQ.

Umformen liefert

(++) cos x ≤ ^sin x_x ≤ 1.

Da cos x gegen 1 strebt, wenn x gegen 0 strebt, folgt die Behauptung. Wegen

^sin x_x = ^{sin x − sin 0}_x − 0

ist also sin′(0) = 1.

Der Sinus-Grenzwert lässt sich veranschaulichen: Für kleine x ist die Bogenlänge x ungefähr gleich sin x, sodass das Verhältnis der beiden Größen ungefähr gleich 1 ist.

Mit Hilfe der Additionstheoreme ergibt sich nun:

Satz (Ableitungen des Kosinus und Sinus)

Es gilt cos′ = −sin und sin′ = cos.

Beweis

Sei x  ∈  ℝ beliebig. Dann gilt

^d_dx sin x	= lim_h → 0 ^{sin(x + h) − sin x}_h
	= lim_h → 0 ^{sin x cos h + cos x sinh − sin x}_h
	= lim_h → 0 (sin x ^{cos h − 1}_h + cos x ^sin h_h)
	= sin x · 0 + cos x · 1 = cos x.

Die Kosinus-Ableitung wird analog bewiesen oder mit Hilfe der Formel cos x = sin(π/2 − x) und der Kettenregel aus der Sinus-Ableitung gewonnen.

Bemerkenswert ist:

Dynamische Argumentation

Bewegt sich ein Punkt P mit P(0) = (1, 0) in der Zeit t auf dem Einheitskreis K₁ mit der Winkelgeschwindigkeit 1 gegen den Uhrzeigersinn, so gilt:

P(t) = (cos t, sin t) für alle t  ∈  ℝ.

Sei t  ∈  ℝ beliebig. Dann ist Q(t) = (cos′ t, sin′ t) ist der Geschwindigkeitsvektor des Punktes zur Zeit t. Dieser Vektor steht senkrecht auf P(t) und hat die Länge 1. Genauer ist Q(t) um π/2 (gegen den Uhrzeigersinn) gedrehte Vektor P(t). Da (x, y) bei der Drehung um π/2 in (−y, x) übergeht, gilt

(cos′ t, sin′ t) = Q(t) = (−sin t, cos t).

Folglich ist cos′ t = −sin t und sin′ t = cos t.

4. Überblick

Mit Hilfe der Ableitungsregeln erhalten wir:

Funktion	Ableitung	Funktion	Ableitung
sin x	cos x	cos x	− sin x
tan x	sec² x	cot x	− csc² x
sec x	sec x tan x	csc x	− csc x cot x
arcsin x	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	arccos x	−  $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
arctan x	¹_1 + x²	arccot x	− ¹_1 + x²
arcsec x	$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - 1 / x^{2}}}$	arccsc x	−  $\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - 1 / x^{2}}}$

Für die hyperbolischen Funktionen gilt:

Funktion	Ableitung	Funktion	Ableitung
sinh x	cosh x	cosh x	sinh x
tanh x	sech²	coth x	− csch² x
sech x	− sech x tanh x	csch x	− csch x coth x
arsinh x	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$	arcosh x	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$
artanh x	¹_1 − x²	arcoth x	¹_1 − x²
arsech x	−  $\frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$	arcsch x	−  $\frac{1}{\|x\| \sqrt{1 + x^{2}}}$

5. Potenzreihendarstellungen

Für die Funktionen exp, cosh, sinh, cos, sin gilt:

Die Funktion …	… erfüllt die Differentialgleichung …	… und besitzt die Anfangswerte …
exp	f ′ = f	f (0) = 1
cosh	f ″ = f	f (0) = 1, f ′(0) = 0
sinh	f ″ = f	f (0) = 0, f ′(0) = 1
cos	f ″ = −f	f (0) = 1, f ′(0) = 0
sin	f ″ = −f	f (0) = 0, f ′(0) = 1

Durch (naives) gliedweises Differenzieren einer Potenzreihe

a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ + … = ∑_n ≥ 0 a_n xⁿ

lassen sich aufgrund dieser Eigenschaften die folgenden Reihen-Darstellungen finden:

exp x = 1 + x + ^x²₂ + ^x³₆ + … = ∑_{n  ∈  ℕ} ^xⁿ_n!

cosh x = 1 + ^x²₂ + ^x⁴₂₄ + … = ∑_{n  ∈  ℕ} ^x⁽²ⁿ⁾_(2n)!

sinh x = x + ^x³₆ + ^x⁵₁₂₀ + … = ∑_{n  ∈  ℕ} ^{x^(2n + 1)}_(2n + 1)!

cos x = 1 − ^x²_2! + ^x⁴_4! − ^x⁶_6! + … = ∑_n (−1)ⁿ ^x²ⁿ_(2n)!

sin x = x − ^x³_3! + ^x⁵_5! − ^x⁷_7! + … = ∑_n (−1)ⁿ ^{x^2n + 1}_(2n + 1)!

Man kann zeigen, dass die Darstellung in der Tat für alle x  ∈  ℝ gültig sind.