Geraden und ihre Parameter

Definition (Gerade)

Seien a, b  ∈  ℝ. Dann heißt die Funktion g : ℝ → ℝ mit

g(x) = ax + b für alle x  ∈  ℝ

die (funktionale) Gerade mit der Steigung a und der y-Verschiebung oder dem Nullwert b.

Drei Geraden

Der Graph einer funktionalen Geraden ist eine Gerade im Sinne der Geometrie.

Bemerkung

(1)	Die geometrischen Geraden der Ebene, die parallel zur y-Achse verlaufen, lassen sich nicht durch eine Funktion darstellen. Der Zusatz „funktional“ kann aber weggelassen werden, wenn man sich bewusst ist, dass unsere Geraden nicht alle Geraden der Ebene im geometrischen Sinne darstellen.

(2)

Eine Gerade g : ℝ → ℝ wird auch oft als lineare Funktion bezeichnet. Da die Begriffe Funktion und Abbildung in der Mathematik prinzipiell gleichwertig sind, ist etwas Vorsicht geboten, da unsere Geraden im Allgemeinen keine linearen Abbildungen im Sinne der Linearen Algebra sind (dies ist nur dann der Fall, wenn b = g(0) = 0). Im Umfeld der elementaren Funktionen ist die Sprechweise aber weit verbreitet und ungefährlich.

Eine einfache, aber wichtige Gerade ist:

Definition (Identität)

Die Gerade id : ℝ → ℝ mit id(x) = x für alle x  ∈  ℝ heißt die Identität oder (erste) Winkelhalbierende auf ℝ.

Allgemeiner sind Geraden g der Form g(x) = ax mit beliebigem a  ∈  ℝ. Sie verlaufen wie die Identität durch den Nullpunkt, unterscheiden sich aber von der Identität durch ihre Steigung. Ist a > 0, so ist die Gerade streng monoton steigend, ist a < 0, so ist sie streng monoton fallend. Je größer der Betrag von a ist, desto steiler verläuft der Graph von g. Im Fall a = 0 ist die Gerade die Nullfunktion.

Eine Gerade der allgemeinen Form g : ℝ → ℝ mit g(x) = ax + b für alle x  ∈  ℝ geht aus der Geraden h mit h(x) = ax durch die Verschiebung von h um b entlang der y-Achse hervor. Es gilt g(0) = b, was die Benennung von b als Nullwert motiviert. Ist a = 0, so ist g konstant gleich b. Im Fall einer von Null verschiedenen Steigung a hat g die eindeutige Nullstelle

x₁ = −^b_a.

Mit Hilfe der Steigung a können wir die Änderung einer Geraden zwischen zwei Punkten bestimmen. Ist g die Gerade ax + b und sind x₁, x₂  ∈  ℝ, so gilt

g(x₁) − g(x₂) = ax₁ + b − ax₂ − b = a(x₁ − x₂).

Speziell ändern sich die Funktionswerte von g um a, wenn wir von einer Stelle x₁ zur Stelle x₂ = x₁ + 1 gehen. Graphisch lässt sich dies durch ein Steigungsdreieck mit den Punkten (x₁, g(x₁)), (x₂, g(x₁)), (x₂, g(x₂)) darstellen. Für alle x₁ ≠ x₂ gilt

a = ^{g(x₁) − g(x₂)}_{x₁ − x₂} = ^{g(x₂) − g(x₁)}_{x₂ − x₁},

sodass sich die Steigung der Geraden leicht bestimmen lässt, wenn die Funktionswerte an zwei verschiedenen Stellen bekannt sind.