Kreise, Ellipsen und Hyperbeln

 Mit Hilfe der Einheitsparabel und der Wurzelfunktion können wir Kreisbögen erzeugen. Für alle r > 0 stellen die beiden Funktionen f_r, g_r : [ −r, r ] → ℝ mit

f_r(x)  =  $\sqrt{{\mathrm{r}}^2-{\mathrm{x}}^2}$,  g_r(x)  =  − $\sqrt{{\mathrm{r}}^2-{\mathrm{x}}^2}$  für alle x  ∈  [ −r, r ]

die obere bzw. untere Hälfte des Kreises K_r = { (x, y)  ∈  ℝ² | x² + y² = r² } mit Radius r und Mittelpunkt 0 dar. Zum Beweis lösen wir die definierende Gleichung des Kreises, also x² + y² = r², nach y auf. Wir erhalten:

y  =   ±$\sqrt{{\mathrm{r}}^2-{\mathrm{x}}^2}$.

Der Radikand ist genau dann größergleich 0, wenn x² ≤ r², d. h. wenn |x| ≤ r. Hieraus ergeben sich die Definitionen von f_r und g_r.

Ellipsen

 Durch Skalierung der Funktionswerte erhalten wir in y-Richtung gestauchte oder gestreckte Kreise und damit achsenparallele Ellipsen. Denn eine achsenparallele Ellipse mit den Halbachsen a, b > 0 ist definiert durch

E_a, b  =  { (x, y)  ∈  ℝ² | (x/a)² + (y/b)² = 1 }.

Auflösen der definierenden Gleichung nach y liefert

y  =   ± ^b_a $\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}$.

Damit stellen die Funktionen c f_a und c g_a mit c = b/a die obere bzw. untere Hälfte der Ellipse E_a, b dar.

 Um die geometrischen Eigenschaften einer Ellipse E_a, b mit den Halbachsen a ≥ b > 0 zu beschreiben, definieren wir:

e  =  $\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}$(lineare Exzentrizität)

ε  =  e/a  =  $\sqrt{1-(\mathrm{b}/\mathrm{a}){\mathrm{}}^2}$(numerische Exzentrizität)

F_1, 2  =  ± (e, 0)(Brennpunkte)

 Die beiden Exzentrizitäten messen die Abweichung der Ellipse von einem Kreis. Ist a = b und damit E_a, b der Kreis K_a, so gilt e = ε = 0. Die numerische Exzentrizität hängt nur vom Verhältnis der Halbachsen ab. Es gilt stets ε  ∈  [ 0, 1 [.

 Die Brennpunkte einer Ellipse verallgemeinern den Kreismittelpunkt: Eine Ellipse E_a, b ist die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstandssumme zu den beiden Brennpunkten gleich 2a ist, d. h.

(+)  E_a, b  =  { P  ∈  ℝ² | F₁P + F₂P  =  2a }.

Dabei bezeichnet PQ den Abstand zweier Punkte P und Q der Ebene. In einem Brennpunkt laufen alle vom anderen Brennpunkt ausgehenden Strahlen zusammen, die an der Ellipse tangential reflektiert werden.

Hyperbeln

 Die Verformung einer Parabel zu einem Kreis erfolgte durch Anwendung der Wurzelfunktion auf eine nach unten geöffnete und nach oben verschobene Parabel. Wenden wir die Wurzelfunktion auf eine nach oben geöffnete und nach unten verschobene Parabel an, so erhalten wir Hyperbeln: Für alle r > 0 stellen die Funktionen f_r, g_r : ℝ − ] −r, r [ → ℝ mit

f_r(x)  =  $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{r}}^2}$,  g_r(x)  =  − $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{r}}^2}$  für alle x mit |x| ≥ r

die obere bzw. untere Hälfte der Hyperbel

H_r  =  { (x, y)  ∈  ℝ² | x² − y² = r² }

dar.

 Die Äste der Hyperbeln H_r besitzen die Winkelhalbierenden als Asymptoten. Dies lässt sich durch Auswerten der Funktionen f_r und g_r an im Betrag großen Stellen x einsehen.

Durch eine Skalierung wie bei den Kreisen werden die Hyperbeln H_r gestaucht oder gestreckt und damit zu den allgemeineren Hyperbeln

H_a, b  =  { (x, y)  ∈  ℝ² | (x/a)² − (y/b)² = 1 }.

Auflösen nach y liefert

y  =   ± ^b_a $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{a}}^2}$.

Die Funktionen c f_a und c g_a mit c = b/a stellen die obere bzw. untere Hälfte der Hyperbeln H_a, b dar. Der Parameter a ist der Abstand der Scheitelpunkte vom Ursprung, c = b/a der Betrag der Steigung der Asymptoten, b der Betrag der Asymptoten an den Stellen ± a. Wir setzen

e  =  $\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$(lineare Exzentrizität)

ε  =  e/a  =  $\sqrt{1+(\mathrm{b}/\mathrm{a}){\mathrm{}}^2}$(numerische Exzentrizität)

F_1, 2  =  ± (e, 0)(Brennpunkte)

Die Abstandseigenschaft lautet nun

(++)  H_a, b  =  { P  ∈  ℝ² | F₁P − F₂P  =  ± 2a }.

Anstelle der Summen der Abstände zu den Brennpunkten haben nun also die Differenzen einen in ihrem Betrag konstanten Wert.

 Das folgende Diagramm fasst unsere Überlegungen noch einmal zusammen. Ein bemerkenswertes Zusammenspiel zwischen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion.