Überführung in Scheitelform

Wir betrachten nun eine allgemeine Parabel f : ℝ → ℝ der Form

f (x) = ax² + bx + c für alle x  ∈  ℝ.

Wie sieht der Graph von f aus? Besitzt der Graph überhaupt immer die geometrische Form einer Parabel? Dies ist zunächst keineswegs klar! Man würde f nicht eine Parabel nennen, wenn es anders wäre. Aber die Frage nach dem Warum bleibt. Die geometrische Wirkung einer Veränderung des Parameters b ist nicht so einfach zu erklären wie eine Veränderung von a oder c.

Ansatz I: Geometrische Verschiebung

Um zu zeigen, dass f die Form einer Parabel hat, können wir so vorgehen: Wir zeigen, dass f die Verschiebung der Parabel ax² um eine gewisse Konstante x₀ entlang der x-Achse und eine gewisse Konstante y₀ entlang der y-Achse ist. Analytisch entspricht eine derartige Verschiebung dem Übergang von x zu x − x₀ und der Addition von y₀. Es genügt also, den folgenden Satz zu beweisen:

Satz (Verschiebungssatz für Parabeln)

Seien a, b, c  ∈  ℝ mit a ≠ 0. Dann ist die Parabel ax² + bx + c eine Verschiebung der Parabel ax² entlang der Achsen: Es gibt x₀, y₀  ∈  ℝ mit

(+) ax² + bx + c = a(x − x₀)² + y₀ für alle x  ∈  ℝ.

Beweis

Für beliebige x₀, y₀  ∈  ℝ ist die Aussage (+) äquivalent zu

ax² + bx + c = ax² − 2ax₀x + ax₀² + y₀ für alle x  ∈  ℝ.

Durch Koeffizientenvergleich (vgl. die Übungen) können wir x₀ und y₀ bestimmen: Aus

b = −2ax₀, c = ax₀² + y₀

erhalten wir

x₀ = −^b_2a, y₀ = c − ax₀² = c − a ^b²_4a² = c − ^b²_4a.

Wir setzen also x₀ = − b/(2a) und y₀ = c − b²/(4a). Einsetzen zeigt, dass x₀ und y₀ wie gewünscht sind.

Wir können die x₀-y₀-Verschiebung in einer beliebigen Reihenfolge durchführen, also zuerst entlang der x-Achse und dann entlang der y-Achse verschieben oder umgekehrt. Die Öffnung a der Parabel bleibt dabei gleich.

Die im Beweis gefundenen Werte für x₀ und y₀ halten wir in einer Definition fest:

Definition (Scheitelpunkt, Scheitelform)

Sei f : ℝ → ℝ, f (x) = ax² + bx + c eine Parabel. Dann heißt der Punkt

(x₀, y₀) = (−^b_2a, c − ^b²_4a)

der Ebene der Scheitelpunkt und die Darstellung

f (x) = a(x − x₀)² + y₀

die Scheitelform der Parabel.

Achsenverschiebung von x² um 2 nach rechts und 10 nach oben

Eine Parabel in Scheitelform. Der Scheitelpunkt ist (2, 5)

Ansatz II: Quadratische Ergänzung

Wir haben die Formel für den Scheitelpunkt durch einen geometrisch motivierten Ansatz gewonnen. Bei einer etwas anderen Herleitung, bekannt als quadratische Ergänzung, steht die algebraische Umformung mit Hilfe der binomischen Formel im Vordergrund. Ausgangspunkt ist ax² + bx + c. Ausklammern von a liefert die Form

a (x² + ^b_a x ) + c bzw. a(x² − 2qx) + c, wobei q = − ^b_2a.

Durch Einfügen von 0 = q² − q² können wir die binomische Formel anwenden:

a(x² − 2qx) + c	= a(x² − 2qx + q² − q²) + c
	= a((x − q)² − q²) + c = a(x − q)² + c − aq².

Damit haben wir die Scheitelform wiedergefunden (mit x₀ = q).

Die quadratische Ergänzung hat den Vorteil, dass wir eine Parabel schnell in Scheitelform überführen können. Wir müssen nur den algebraischen Trick des Einschiebens der Null anwenden, der die binomische Formel ins Spiel bringt. Obige Definition von q ist motiviert durch den Wunsch nach einem Faktor 2 im mittleren Term (ob wir ein negatives oder positives Vorzeichen für diesen anstreben, ist Geschmackssache; der Buchstabe „q“ steht für „quadratisch“, man kann natürlich auch gleich mit x₀ arbeiten). Wer eine direkte Rechnung bevorzugt, kann die quadratische Ergänzung so durchführen:

ax² + bx + c	= a (x² + ^b_a x ) + c = a (x² + ^b_a x + ^b²_4a² − ^b²_4a²) + c
	= a (x + ^b_2a)² + c − ^b²_4a.

Ansatz III: Verwendung der Ableitung

Mit Methoden der Differentialrechnung lässt sich der Scheitelpunkt besonders elegant finden. Es gilt

^d_dx ( ax² + bx + c ) = 2ax + b.

Die Ableitung wechselt an der Stelle x₀ = −b/(2a) ihr Vorzeichen, sodass dort ein lokales Extremum vorliegt. Den Wert y₀ erhalten wir durch

y₀ = ax₀² + bx₀ + c.

Die Ableitung zeigt auch, warum wir den zweiten Koeffizienten b als Nullpunktsteigung bezeichnet haben: Es gilt f ′(0) = b. Wegen f (0) = c verläuft die Parabel durch den Punkt (0, c) mit der Steigung b. Diese Information ist beim Zeichnen per Hand oft hilfreich.

Ein Vergleich

Die folgende Tabelle zeigt die polynomielle Darstellung ax² + bx + c und die Scheitelform a(x − x₀) + y₀ einer Parabel im Vergleich. Beide Darstellungen haben drei Parameter und die Tabellen geben an, ob sich Öffnung und Verschiebung der Parabel bei einer Änderung der Parameter ändern oder nicht.

Parameter	Öffnung	x-Verschiebung	y-Verschiebung
a	ja	ja	ja
b	nein	ja	ja
c	nein	nein	ja

Wirkung einer Parameteränderung für die Form ax² + bx + c

Parameter	Öffnung	x-Verschiebung	y-Verschiebung
a	ja	nein	nein
x₀	nein	ja	nein
y₀	nein	nein	ja

Wirkung einer Parameteränderung für die Scheitelform a(x − x₀)² + y₀

Die Parabeln x² + bx für die dreizehn Parameter b = −6, −5,−4, …, 4, 5, 6. Die Scheitelpunkte der Parabeln befinden sich auf der Parabel −x².