Parabeln mit vorgegebenen Nullstellen
Die Mitternachtsformel erlaubt die Berechnung der Nullstellen x1, x2 mit Hilfe der Parameter a, b, c einer Parabel. Es stellt sich umgekehrt die Frage, ob und wie die Parameter mit Hilfe vorgegebener Nullstellen berechnet werden können. Da die Multiplikation einer Parabel mit einer Konstanten die Nullstellen unverändert lässt, sind die Parameter a, b, c durch die Nullstellen x1, x2 nicht eindeutig bestimmt. Eindeutig erreichen wir, wenn wir normierte Parabeln (mit der Öffnung a = 1) betrachten:
Satz (Vietascher Wurzelsatz)
Seien b, c ∈ ℝ derart, dass die Parabel x2 + bx + c die (nicht notwendig verschiedenen) Nullstellen x1, x2 besitzt. Dann gilt:
b = −(x1 + x2), c = x1 x2.(Formeln von Vieta)
Wir geben zwei Beweise des Satzes.
Beweis mit Hilfe der Mitternachtsformel
Nach der Mitternachtsformel gilt wegen a = 1, dass
2x1,2 = −b ± .
Wir setzen w = . Dann gilt
−(x1 + x2) = b − w + b + w2 = b,
x1 x2 = b2 − w24 = c.
Beweis durch Koeffizientenvergleich
Da sich Nullstellen abspalten lassen, gilt:
x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) für alle x ∈ ℝ.
Ausmultiplizieren der rechten Seite liefert
x2 + bx + c = x2 − (x1 + x2)x + x1 x2 für alle x ∈ ℝ.
Die Formeln von Vieta ergeben sich nun durch Koeffizientenvergleich.
Korollar (Parabeln mit vorgegebenen Nullstellen)
Seien x1, x2 ∈ ℝ und sei g = x2 − (x1 + x2) + x1 x2. Dann sind die Parabeln, die x1 und x2 als Nullstellen besitzen, genau die Funktionen der Form
a g = a (x − x1) (x − x2) mit a ∈ ℝ*.
Eine Parabel der Öffnung 1, die zwei Nullstellen besitzt, lässt sich also eindeutig als Produkt zweier Geraden der Steigung 1 schreiben.
Zwei Parabeln mit den Nullstellen 1 und 5, dargestellt als Produkt zweier Geraden