Grenzwertverhalten von Polynomen
Polynome streben gegen ± ∞, wenn x gegen ± ∞ strebt. Genauer gilt:
Satz (Grenzwertverhalten von Polynomen)
Sei f : ℝ → ℝ ein Polynom vom Grad n ≥ 1. Dann gilt
limx → ∞ f (x) ∈ { ∞, −∞ }, limx → −∞ f (x) ∈ { ∞, −∞ }.
Ist n gerade (ungerade), so haben die uneigentlichen Grenzwerte dasselbe (unterschiedliche) Vorzeichen.
Dies ergibt sich aus
| limx → ∞ (an xn + … + a0) | = an limx → ∞ xn (1 + an − 1an x + … + a0an xn) |
| = an limx → ∞ xn, |
und analog für x → −∞.
Nimmt ein Polynom an einer Stelle einen negativen und an einer anderen Stelle einen positiven Wert an, so existiert zwischen diesen beiden Stellen aus Stetigkeitsgründen eine Nullstelle (Zwischenwertsatz). Damit erhalten wir:
Korollar (Existenz von Nullstellen bei ungeradem Grad))
Jedes Polynom f : ℝ → ℝ ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle.
Dass die Aussage bei geradem Grad nicht gilt, zeigt zum Beispiel die um 1 entlang der y-Achse verschobene Einheitsparabel, also das Polynom x2 + 1.
Zur gradabhängigen Existenz von Nullstellen
Interessante Grenzwertphänomene lassen sich auch beobachten, wenn wir den Grad n als variabel betrachten. Ein instruktives Beispiel liefern die Funktionen fn : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ], die für alle n ≥ 1 definiert sind durch
fn(x) = xn für alle x ∈ [ 0, 1 ].
Einige Monome xn auf dem Einheitsintervall [ 0, 1 ]
Alle Monome fn verlaufen durch den Punkt (1, 1). Für alle x ∈ [ 0, 1 [ gilt dagegen limn → ∞ fn(x) = 0. Die Grenzfunktion g : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] mit g(1) = 1 und g(x) = 0 für x < 1 ist unstetig.
Das Verhalten der Monome xn spiegelt sich im Verhalten ihrer Umkehrfunktionen, den n-ten Wurzeln n, wider. Diese Funktionen sind für gerade n auf [ 0, ∞ [ und für ungerade n auf ganz ℝ definiert. Für ungerade n konvergieren die n-ten Wurzeln punktweise gegen die Vorzeichenfunktion sgn auf ℝ. d. h.
limn → ∞, n ungerade n = sgn(x) für alle x ∈ ℝ.
n-te Wurzeln auf ℝ für ungerade n
Die Idee lässt sich vielfach variieren. Das folgende Diagramm zeigt eine weitere Konstruktion.