Übungen

Übung 1

Seien b, c, d  ∈  ℝ und seien x₁, x₂, x₃ die Nullstellen von x³ + bx² + cx + d. Zeigen Sie:

x₁ + x₂ + x₃  =  −b,  x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃  =  c,  x₁ x₂ x₃  =  −d.

Übung 2

Formulieren Sie die Beweise des Satzes über die Eindeutigkeit der Nullfunktion mit Hilfe von Ableiten bzw. Ausklammern induktiv.

Übung 3

Sei f : ℝ → ℝ ein Polynom vom Grad n ≥ 0. Zeigen Sie: Es gibt ein 0 ≤ k < n, reelle Zahlen x₁, …, x_k und ein nullstellenfreies Polynom g mit

(+)  f  =  (x − x₁) … (x − x_k) g  und  x₁, …, x_k sind alle Nullstellen von f.

Übung 4

Zeigen Sie, dass ein Polynom f : ℝ → ℝ genau dann in Linearfaktoren zerfällt, wenn f ein Produkt von Geraden ist, d. h. wenn es Geraden g₁, … g_n gibt mit f = g₁ … g_n.

Übung 5

Sei f ein Polynom vom Grad 3 und es gelte f (x) = 1/x für x = 1, …, 4. Bestimmen Sie f (5).

[ Hinweis: Wer keine Polynominterpolation berechnen möchte, kann das Polynom g = x f − 1 betrachten. ]

Übung 6

Seien c  ∈  ℝ und n  ∈  ℕ ungerade. Ermitteln Sie einen Linearfaktor des Polynoms xⁿ + cⁿ und spalten Sie ihn ab.

Übung 7

Sei f ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Weiter seien a, b ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass a − b ein Teiler von f (a) − f (b) ist, d. h.:

Es gibt eine ganze Zahl d mit d(a − b) = f (a) − f (b).

[ Hinweis: Spalten Sie eine Nullstelle eines geeignet definierten Polynoms ab. ]

Übung 8

Zeigen Sie, dass es kein Polynom f mit ganzzahligen Koeffizienten gibt mit

f (1)  =  2,  f (2)  =  3,  f (3)  =  1.

Übung 9

Entwickeln Sie das Polynom x⁴ + 2x³ − x² + 2x − 2 an den Stellen 1 und −1.

Übung 10

Sei x  ∈  ℝ mit mit x ≥ −1. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n  ∈  ℕ gilt:

(1 + x)ⁿ  ≥  1 + nx(Bernoulli-Ungleichung)

Übung 11

Sei q  ∈  ℝ mit |q| < 1. Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung:

lim_n → ∞ qⁿ  =  0.

[ Zeigen Sie zunächst, dass es genügt, die Aussage für positive q zu zeigen. Sei also q  ∈  ] 0, 1 [. Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung, dass für alle ε > 0 ein n₀ existiert mit |q|^n₀ < ε. Dies genügt, da 0 < qⁿ ≤ q^n₀ für alle n ≥ n₀. ]

Übung 12

Sei q  ∈  ℝ mit |q| < 1. Zeigen Sie durch Anwendung der Logarithmus-Funktion:

lim_n → ∞ qⁿ  =  0.