Einfache Differentialgleichungen
Wir betrachten die ermittelten Ableitungen nun noch im Licht von Differentialgleichungen, also Gleichungen mit Funktionen und ihren Ableitungen als Unbekannten. Die Funktionen werden dabei wie üblich mit f, g, h, … bezeichnet, oft aber auch mit y.
Die Differentialgleichung f ′ = f
Die Exponentialfunktion erfüllt
f ′ = f.
Aber auch die Funktionen 2exp und allgemeiner c exp für eine beliebige reelle Zahl c sind Lösungen dieser Differentialgleichung. Eindeutig wird die Lösung erst durch Vorgabe eines Wertes an einer Stelle. Das sogenannte Anfangswertproblem (kurz AWP)
(+) f ′ = f, f (0) = c bzw. y′ = y, y(0) = c
hat für ein gegebenes c ∈ ℝ die Lösung f = c exp.
Zwei Anfangswertprobleme zu y′ = y und ihre Lösung: y0 = 2 bzw. y0 = −1/2
Um zu zeigen, dass das AWP (+) für ein gegebenes c keine weiteren Lösungen besitzt, verwenden wir ohne Beweis den folgenden anschaulich klaren (aber keineswegs trivial zu beweisenden) Satz:
Satz (Funktionen mit Ableitung 0)
Sei I ein Intervall und f : I → ℝ mit f ′ = 0. Dann ist f konstant, d. h. es gibt ein c ∈ ℝ mit f (x) = c für alle x ∈ I.
Die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich von f ein Intervall ist, ist wesentlich:
Beispiel
Die Funktion f : [ 0, 1 ] ∪ [ 2, 3 ] → ℝ mit f (x) = 0 für alle x ∈ [ 0, 1 ] und f (x) = 2 für alle x ∈ [ 2, 3 ] hat als Ableitung die Nullfunktion auf [ 0, 1 ] ∪ [ 2, 3 ]. Die Funktion f ist aber nicht konstant.
Mit Hilfe des Satzes können wir die Eindeutigkeit der Lösung relativ einfach zeigen. Sei also f eine Lösung von (+). Wir definieren g : ℝ → ℝ durch
g = fexp.
Dann gilt
g′ = f ′ exp − f exp′exp2 = f ′ exp − f expexp2 = 0,
sodass g konstant gleich einer reellen Zahl c′ ist. Wegen c′ = g(0) = f (0) = c ist aber c′ = c und damit f = g exp = c exp. Das Argument zeigt insbesondere die Eindeutigkeit einer Funktion f mit f ′ = f und f (0) = 1.
Die Differentialgleichung f ″ = f
Differentialgleichungen können auch mehrfache Ableitungen involvieren, man spricht dann von Gleichungen höherer Ordnung. So erfüllen zum Beispiel sowohl der Kosinus Hyperbolicus als auch der Sinus Hyperbolicus die Differentialgleichung f ″ = f zweiter Ordnung. Allgemeiner gilt dies für die Funktionen
a cosh x + b sinh x
mit beliebigen Skalaren a, b ∈ ℝ, d. h. für Linearkombinationen des Kosinus und Sinus Hyperbolicus. Man kann zeigen, dass jede Lösung in dieser Form dargestellt werden kann. Alternativ können die Lösungen auch in der Form
a ex + b e−x.
angegeben werden.
Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung involviert zwei freie Parameter. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wird ein Anfangswert für f und ein Anfangswert für f ′ vorgegeben (physikalisch: ein Startpunkt und eine Startgeschwindigkeit).
Beispiel
Das AWP
f ″ = f, f (0) = 1, f ′(0) = 0
hat den Kosinus Hyperbolicus als eindeutige Lösung, das AWP
f ″ = f, f (0) = 0, f ′(1) = 1
dagegen den Sinus Hyperbolicus.
Die Differentialgleichung f ″ = −f
Die Differentialgleichung f ″ = −f zweiter Ordnung hat die allgemeine Lösung
a cos x + b sin x, mit a, b ∈ ℝ beliebig.
Alternativ können die Lösungen auch durch Funktionen der Form
c cos(x − x0)
mit c ≥ 0 und x0 ∈ ℝ beschrieben werden (Übung). Im physikalischen Kontext ist c eine Amplitude und x0 eine Phasenverschiebung.
Beispiel
Das AWP
f ″ = −f, f (0) = 1, f ′(0) = 1
hat die eindeutige Lösung cos x + sin x. Diese Lösung lässt sich auch in der Form cos(x − π/4) schreiben.