Taylor-Polynome

 Noch allgemeiner können wir fragen, wie Polynome höheren Grades definiert werden können, die an einer bestimmten Stelle in mehr als zwei Ableitungen mit einer Funktion übereinstimmen. Ist eine an einer Stelle p ihres Definitionsbereichs n-mal differenzierbare Funktion f gegeben, so suchen wir also ein Polynom g : ℝ → ℝ höchstens n-ten Grades der Form

g(x)  =  a0  +  a1 (x − p)  +  a2 (x − p)2  +  …  +  an (x − p)n  für alle x  ∈  ℝ

mit der Eigenschaft

f (p)  =  g(p),  f ′(p)  =  g′(p),  f ″(p)  =   g″(p),  …,  f (n)(p)  =  g(n)(p).

Sei k ≤ n. Dann gilt für alle x  ∈  ℝ

g(k)(x)  =  k!  ak  +  (k + 1)!1! ak + 1 (x − p)  +  …  +  n!(n − k)! an (x − p)n − k,

sodass g(k)(p) = k! ak. Wenn g(k)(p) = f (k)(p) gelten soll, muss also

ak  =  f (k)(p)k!

sein. Die Fakultät im Nenner gleicht die Faktoren aus, die beim k-fachen Ableiten von (x − p)k entstehen. Wir definieren:

Definition (Taylor-Polynome)

Sei f : P → ℝ n-mal differenzierbar an der Stelle p  ∈  P. Dann ist das n-te Taylor-Polynom Tnpf : ℝ → ℝ von f im Entwicklungspunkt p definiert durch

Tnpf (x) =  f (p)  +  f ′(p) (x − p)  +  f ″(p)2! (x − p)2  +  …  +  f (n)(p)n! (x − p)n
=  ∑k ≤ n f (k)(p)k! (x − p)k  für alle x  ∈  ℝ.

Wir nennen das Polynom Tnpf auch die Taylor-Entwicklung der Ordnung n der Funktion f an der Stelle p.

 Das Taylor-Polynom der Ordnung 0 ist konstant gleich f (p). Die Taylor-Polynome der Ordnungen 1 und 2 sind die Tangente und die Schmiegeparabel von f an der Stelle p. Die Taylor-Entwicklung dritter Ordnung lautet

T3p f (x)  =  f (p)  +  f ′(p) (x − p)  +  f ″(p)2 (x − p)2  +  f (3)(p)6 (x − p)3.

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Das Taylor-Polynom h(x) dritter Ordnung des Logarithmus an der Stelle 1 und die Restfunktion r(x) = log(x) − h(x)

 Wie erwartet kann man eine zu den bisherigen Ergebnissen analoge Approximationsgüte nachweisen:

Satz (Satz von Peano)

Sei f : P → ℝ n-mal differenzierbar an der Stelle p  ∈  P. Weiter sei r : P → ℝ die Funktion mit r(x) = f (x) − Tnpf (x) für alle x  ∈  P. Dann gilt

limx → p r(x)(x − p)n  =  0.

 Gleichwertig in der Landau-Notation formuliert:

Satz (Satz von Peano in Landau-Notation)

Sei f : P → ℝ n-mal differenzierbar an der Stelle p  ∈  P. Dann gilt:

f (x) =  Tnpf (x)  +  o((x − p)n)
=  f (p)  +  f ′(p) (x − p)  +  … + f (n)(p)n! (x − p)n  +  o((x − p)n)  für x → p.