Übungen
Übung 1
Bestimmen Sie die Schmiegeparabel h : ℝ → ℝ im Punkt 1 für die Funktion f : ℝ → ℝ mit f (x) = x3 − 2x2 + x + 1 für alle x ∈ ℝ. Überzeugen Sie sich explizit von der Darstellung
f (x) = h(x) + o((x − 1)2) für x → 1.
Übung 2
Bestimmen Sie die Schmiegeparabeln des Sinus in den Punkten 0, π/4 und π/2. Fertigen Sie zugehörige Skizzen an.
Übung 3
Sei f : ℝ → ℝ das Polynom dritten Grades mit
f (x) = (x − 1)3 + 2(x − 1)2 − 3(x − 1) + 1 für alle x ∈ ℝ.
Berechnen Sie die Taylor-Polynome dritten Grades von f in den Entwicklungspunkten p = 0 und p = 2. Wie können diese Darstellungen von f auch ohne Taylor-Entwicklung erhalten werden? Welche Vor- und Nachteile haben die verschiedenen Methoden?
Übung 4
Bestimmen Sie die Taylor-Polynome dritten Grades für die Wurzelfunktion sqrt in den Entwicklungspunkten p = 1 und p = 2.
Übung 5
Bestimmen Sie das Taylor-Polynom fünften Grades des Tangens im Entwicklungspunkt 0.
Übung 6
Wir betrachten die beiden folgenden Aussagen:
A) | Sei f : ℝ → ℝ ein Polynom, und sei p ∈ ℝ. Dann gilt Tnpf = f für alle n ∈ ℕ mit n ≥ deg(f). |
B) | Zwei Polynome f und g, die an einer Stelle p ∈ ℝ in allen Ableitungen übereinstimmen (d. h. f (n)(p) = g(n)(p) für alle n ∈ ℕ), sind gleich. |
Beweisen Sie:
(a) | die Aussage (B) unter Verwendung der Aussage (A), |
(b) | die Aussage (A) unter Verwendung der Aussage (B), |
(c) | eine der beiden Aussagen ohne weitere Voraussetzungen. |
Übung 7
Zeigen Sie durch Berechnung der Ableitungen, dass die Taylor-Reihen von exp, cosh, sinh, cos und sin im Nullpunkt mit den Hilfe von Differentialgleichungen gewonnenen Potenzreihendarstellungen dieser Funktionen übereinstimmen.
Übung 8
Die Taylor-Reihe des Arkustangens konvergiert nur für x ∈ [ −1, 1 ]. Zeigen Sie, dass
arctan(x−1) = sgn(x) π/2 − arctan(x) für alle x ≠ 0,
und beschreiben Sie, wie sich mit Hilfe dieses Ergebnisses der Wert arctan(x) für ein beliebiges x ∈ ℝ approximativ berechnen lässt.