Zum Beweis des Hauptsatzes
Ein strenger Beweis des Hauptsatzes wird innerhalb einer systematischen Darstellung der Analysis geführt. Wir begnügen uns hier mit einer Argumentation, die den „magischen Zusammenhang“ zwischen Differentiation und Integration ans Licht bringt, und die sich zudem als Grundlage für einen vollständigen Beweis eignet.
Argumentation mit Riemann-Summen
Sei p = (tk, xk)k ≤ n eine sehr feine Partition von [ a, b ], d. h. δ(p) ist sehr klein. Dann gilt (mit ∼ = „wird approximiert durch, ist ungefähr gleich“):
| ∫ba f | ∼ ∑p f = ∑k ≤ n f (xk) (tk + 1 − tk) |
| = ∑k ≤ n F′(xk) (tk + 1 − tk) | |
| ∼ ∑k ≤ n F(tk + 1) − F(tk)tk + 1 − tk (tk + 1 − tk) | |
| = ∑k ≤ n (F(tk + 1) − F(tk)) | |
| = F(tn + 1) − F(t0) | |
| = F(b) − F(a). |
Die Summe der drittletzten Zeile ist eine sog. Teleskop-Summe: Es bleiben nur die äußersten Summanden übrig, da sich alle anderen paarweise aufheben.
Noch bestechender wird das Argument, wenn wir die Leibniz-Notation ernst nehmen und infinitesimal rechnen:
Argumentation mit infinitesimalen Größen
Wir fassen das Integral über f von a nach b als Summe von infinitesimalen Rechtecksflächen f (x) · dx auf und die Ableitung als Quotienten dF(x)/dx infinitesimaler Größen. Dann können wir schreiben
| ∫ba f (x) dx | = ∫ba F′(x) dx = ∫ba dF(x)dx dx |
| = ∫ba dF(x) = F(b) − F(a). |
Im letzten Schritt haben wir eine „infinitesimale Teleskop-Summe“ aufgelöst, die sich erneut auf die beiden äußersten Summanden reduziert.
Das erste Argument lässt sich vergleichsweise leicht mit Hilfe eines Grenzübergangs zu einem vollständigen Beweis ausbauen. Ein Integral ist ja als Grenzwert von Riemann-Summen und eine Ableitung als Grenzwert von Differenzenquotienten definiert. Das zweite Argument benötigt die exakte Einführung infinitesimaler Größen, was zwar aufwendig, innerhalb der im 20. Jahrhundert entwickelten Nonstandard-Analysis aber möglich ist.