Elimination trigonometrischer Funktionen

Wir betrachten Substitutionen, die trigonometrische Funktionen aus Integranden entfernen. Grundlage hierzu ist eine Arkustangens-Substitution:

(Sub1) x = arctan t, dx = ¹_1 + t² dt, t = tan x.

Für alle x  ∈  ] − π/2, π/2 [ gilt

cos x = $\frac{1}{\sqrt{1 + {tan}^{2} x}}$ , sin x = tan x cos x.

Wegen x = arctan t  ∈  ] −π/2, π/2 [ für alle t  ∈  ℝ erhalten wir

cos(arctan t) = $\frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ , sin(arctan t) = $\frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ für alle t  ∈  ℝ.

Damit lassen sich alle Kosinus- und Sinusfunktionen eines Integranden mit Hilfe der Arkustangens-Substitution eliminieren. Durch eine auf den ersten Blick unscheinbare Variante können wir zudem auch noch die Wurzeln vermeiden:

(Sub2) x = 2arctan t, dx = ²_1 + t² dt, t = tan(^x₂).

Bei dieser Substitution erhalten wir aufgrund der Verdopplungsformeln

cos(2t) = cos²t − sin²t, sin(2t) = 2 cos t sin t für alle t  ∈  ℝ,

die rein rationalen Formeln

cos(2arctan t) = ^1 − t²_1 + t², sin(2arctan t) = ^2t_1 + t² für alle t  ∈  ℝ.

Damit können wir trigonometrische Integranden in rationale Integranden verwandeln. Wir diskutieren hierzu einige Beispiele.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion f : ] −π, π [ → ℝ mit

f (x) = ¹_{1 + cos x} für alle x  ∈  ] −π, π [.

Mit der Substitution x = 2arctan t gilt nach obigen Formeln

∫ f (x) dx	= ∫¹_1 + cos(x) dx
	= ∫¹_{1 + cos(2 arctan t))} ²_1 + t² dt
	= ∫²_{(1 + (1 − t²)/(1 + t²)) (1 + t²)} dt
	= ∫1 dt = t (Rücksubstitution)
	= tan(^x₂).

Beispiel

Sei f : ] −π/4, 3π/4 [ → ℝ definiert durch

f (x) = ¹_{sin(x) + cos(x)} für alle x  ∈  ] −π/4, 3π/4 [.

Wir setzen wieder x = 2arctan(t). Dann gilt

∫ f (x) dx	= ∫¹_{sin(x) + cos(x)} dx
	= ∫¹_{sin(2 arctan t) + cos(2 arctan t))} ²_1 + t² dt
	= ∫¹_{2t/(1 + t²) + (1 − t²)/(1 + t²)} ²_1 + t² dt
	= ∫²_{2 − (t − 1)²} dt
	= ∫¹_{1 − (t − 1)²/2} dt mit u = (t − 1)/ $\sqrt{2}$
	= ∫¹_1 − u² $\sqrt{2}$ du = $\sqrt{2}$ artanh(u)
	= $\sqrt{2}$ artanh( $\frac{t - 1}{\sqrt{2}}$ ) = $\sqrt{2}$ artanh( $\frac{tan (x / 2) - 1}{\sqrt{2}}$ ).

Zur Überprüfung der Definitionsbereiche verwenden wir die Werte

sin(^π₈) = cos(^3π₈) = ¹₂ $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ ,

cos(^π₈) = sin(^3π₈) = ¹₂ $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ ,

tan(^π₈) = $\sqrt{2}$ − 1, tan(^3π₈) = $\sqrt{2}$ + 1,

die sich aus sin(π/4) = cos(π/4) = 1/ $\sqrt{2}$ und den Halbwinkelformeln ergeben. Damit ist |t − 1| ≤ $\sqrt{2}$ und |u| < 1, was wir für den artanh brauchen.